Question

$0!$ neden 1'e eşit?

Answer 1

$n!$, $n$ elemanlı kümeden kendisine  bire-bir (dolayısıyla örten) fonksiyonların sayısı olarak tanımlanırsa (veya alışılmış tanımı ile  buna eşit olduğu kolayca gösterildiğinde); 0!, boş kümeden kendisine bire-bir fonksiyonların sayısı olmalıdır. Bu sayının da 1  olduğu kolayca görülür.

Answer 2

$f(x)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}\;t^{x-1}\;dt$  diye bir fonksiyon olsun.

Gelin bu fonksıyonu bıraz inceleyelim.


$f(x+1)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}\;t^{x}\;dt=\underbrace{-e^{-t}t^x\LARGE\displaystyle\mid^\infty_0}_{\to0}+\underbrace{x\displaystyle\int e^{-t}\;t^{x-1}\;dt}_{x.f(x)}$

$f(x+1)=xf(x)$

Dolayısıyla,

$f(x+1)=xf(x)=x(x-1)(x-2)......f(2)f(1)f(0).....$


Diyerek gidiyor ancak ,biz faktoriyeli tanımlamak istiyoruz ve $x$  den  $f(1)$ 'e kadar olan kısmı alırız (faktoriyeller $f:R^+\to R$) Tanımlıdır,(tanım kümesine dikkat ediniz)

Yani,

$f(x+1)=x!$

Bu arada bu $f$  fonksiyonunun özel ismi $\Gamma$'dır ve $f(x)=\Gamma(x)$   artık eşitliğini rahatça belirtebilirim.

Dolayısıyla,

$\Gamma(2)=1!$

ve

$\Gamma(1)=0!$  olduğu görülür,


$\Gamma(1)=0!=\displaystyle\int_0^\infty e^{-t} t^{1-1} dt$     olduğundan

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}dt=-e^{-t}|^\infty_0=1=0!$  olduğu görülür

Answer 3

0! ifadesi 1 olarak tanımlanmıştır. Bu tanımlamanın birçok gerekçesi sıralanabilir. En önemlilerinden bir tanesi, faktöriyel fonksiyonunu pozitif tamsayılardan daha geniş bir kümede tanımlamak için ortaya konulmuş olan Gamma fonksiyonuna dayanır. Gamma fonksiyonunun

$\Gamma \left( x+1\right) =x\Gamma \left( x\right) $

reküransı bir pozitif n tam sayısı için göz önüne alındığında $\Gamma \left( n+1\right) =n! $

elde edilir. Bu eşitliğin sol tarafı n=0 için $\Gamma \left(1\right)$ olup anlamlıdır ve hesaplanırsa 1 olarak bulunur.  Bu durumda eşitliğin sağ tarafında bulunan 0! ifadesini 1 olarak tanımlamak makuldur.

Ayrıca binom katsayılarını içeren eşitliklerde 0!=1 tanımı genel yapıyla uyumludur ve işleri epeyce kolaylaştırır.

Comments

Sana katıldığımı söyleyemeceğim. Sanırım $n!$ denilen nane Gamma'dan çok daha önce vardır Ayhan. Ve $n!$ demek yerine $n$'den küçük pozitif tamsayıların çarpımı dersek, $0!$'i zaten tanımlamış oluruz. Mecburen $1$ olur.

---

$0!$=1 tanımının farklı gerekçeleri olduğunu söyledim zaten. Faktöriyelin Gamma dan önce var olması, neden $1$ olması konusunda daha temel gerekçelerin olması benim dediğimle çelişen bir şey değil ki. Ben neden $1$ olması gerektiği ile ilgili bir gerekçeden daha bahsediyorum.

Answer 4

Tam sayılarda çarpma işleminin birim elemanının $1$ oluşu da (aynı zamanda yapılan yorumlarla uyuşan) farklı bir bakış açısı olabilir:

Bir doğal sayının faktöriyelini, o doğal sayıya eşit veya o doğal sayıdan küçük pozitif tam sayıların çarpımı olarak tanımlayalım.

Bu tanıma göre $0!$, $0$'dan küçük veya $0$'a eşit tüm pozitif tam sayıların çarpımı olacaktır. Fakat çarpılacak sayıların oluşturduğu küme boş kümedir. Dolayısıyla çarpma işlemi "hiç" kere yapılmalıdır. Bir işlemi "hiç" kere yapmak, bizi o işlemin birim elemanına götürür. $0! = 1$.

Comments

Tabii bir işlemi "hiç" kere yapmanın bize neden birim eleman sonucunu verdiği de yanıtlanması gereken ayrı bir sorudur. Bu soru için şurada başlık açılmış: http://www.matkafasi.com/654/hic-bir-seyin-carpimi-nedir

Answer 5

$n\in {N}$ olmak üzere $n!=1.2.3...n$ olduğunu biliyoruz (ya da öyle tanımlıyoruz). Bu tanımdan $1!=1$ çıkar. Diğer yandan $n!=n(n-1)!$  dir. Bu eşitlikte $n=1$  yazılırsa: $1!=1.0!$ ve $1=1.0!$ den $0!=1$ bulunur.

Answer 6

Şöyle bir video var, ingilizce ancak https://www.youtube.com/watch?v=Mfk_L4Nx2ZI#t=113 linkinde tam da açıklamanın olduğu yeri bulabilirsiniz. Biraz DoganDonmez'in yukarıdaki cevabına benziyor gibi geldi bana.

Numberphile kanalını da severim bu arada. 

Answer 7

ÇÜNKÜ  bir perdenin önünde 2 kişi, olsun  bunlar $2!$ şeklinde fotoğraf çektirirler  1kişi olsa$1$ şeklinde hiç kişi olmas a $0!$   şeklinde çekilirler çünkü boş perdeyide çekme ihtimali var 1 burdan 1 geliyor

Answer 8

0 tane nesne sadece 1 şekilde sıralanabilir, ondan dolayı.

Answer 9

https://m.youtube.com/watch?v=i5gxEhNDYls

Answer 10

Doğan hocanın söylediğini şöyle de çevirip söyleyebiliriz. Bilye dolu bir torbadan kaç farklı şekilde sıfır bilye seçebiliriz? Tek biçimde tabii ki! Belki neden tek biçimde olduğunu da açıklamak iyi olabilir.

$10$ kişilik bir sınıf düşünelim. Bu sınıftan iki kişilik bir ekibe çöpleri toplama görevi vermek istiyoruz. Kaç farklı şekilde verebiliriz? Tabii ki elemanları bu sınıfın kişileri olan kümenin iki kişilik alt kümelerinin sayısı kadar. Benzer biçimde elini sobada yakması için de sıfır kişilik bir ekip belirleyecek olalım. Kaç farklı ekip belirleyebiliriz? Çöpleri toplama görevinde olduğu gibi elemanları bu sınıfın kişilerinden olan kümenin sıfır elemanlı alt kümeleri kadar. Ama sıfır elemanlı bir tane alt küme var.