Hangi kosul altinda $\frac{1}{a}$ sayisi $b$ tabaninda devirli olur.

Question

$a$ ve $b$ iki adet pozitif tam sayi olsin oyle ki $a<b$. Hangi kosul altinda $\frac{1}{a}$ sayisi $b$ tabaninda devirli olur.

Answer 1

$b-a=1$ olsun ki $\frac{1}{a}$ sayısı $b$ tabanında devirli olsun.

Comments

$10$ tabaninda $\frac{1}{3,6,7}$?

---

Sonuç olarak verdiğim cevap doğru ama büyük eksikleri var haklısınız.

---

Neden böyledir?

Answer 2

$a$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Örneğin $a=p.q$ olsun. $p,q$ asal sayılar olmak üzere, $EBOB(b,p)=1$ veya $EBOB(b,q)=1$ ise $\frac{1}{a}$ sayısı $b$ tabanında devirlidir.

Örnek vermek gerekirse: $10$ tabanında $3,6,7$ ve $9$ sayıları bu şartları sağlar ve bu sayıların çarpmaya göre tersleri $10$ tabanında devirlidir.

Comments

$a=p_1p_2\cdots p_n$ olarak genellestirilebilir. ama ondan onceki sorum: bu iddianin dogrulugunu gosteren sebepler neler?

---

Veya şöyle söyleyecek olursak, $a=p_1^{r_1}.p_2^{r_2}...p_n^{r_n}$ ise bu asalların hepsi $EBOB(b,p_1)=p_1$, $EBOB(b,p_2)=p_2$,...$EBOB(b,p_n)=p_n$ şartlarının hepsi sağlanmalıdır. Çünkü eğer böyle olmazsa, örneğin $EBOB(b,p_1)=1$ olursa, $b (mod q_1)=k$ olur, devamında mod alma işlemine devam edersek $b^2 (mod q_1)=n$ olur ve bu işlem sürekli devreder. Dolayısıyla belirttiğim şart sağlanmalıdır ki $\frac{1}{a}$ sayısı $b$ tabanında devirlidir.

---

Bilindiği üzere ondalıklar üzerinde bölme yapılırken kalan 10 ile çarpılır, bölüm yazılır, kalan yine 10 ile çarpılır. İşlem kalan 0 olana yada devirli olduğu anlaşılana kadar işlem devam eder.

---

Yukarıda sözü edilen OBEB(b,p)=1 ,OBEB(b,q)= kurallara 6 =2.3 uymuyorki.