Koninin hacminin integral ile hesabı

Question

Öncelikle konuyu yeni öğrendiğimi belirteyim.

Koninin hacmini küçük bir daire daha doğrusu silindir seçip, benzerliğin de yardımıyla tüm yüksekliğe tarattırarak hesaplayabiliyorum. 

Ama konuyu daha iyi öğrenebilmek için kürenin hacim hesabı gibi küçük bir kübik hacim seçip bu şekilde hesap yapmaya çalışıyorum.

Fakat başarılı olamadım, konuyla ilgili bilgisi olanlar yardım ederse sevinirim.

Answer 1

Kagit kalem kullanmani rica ediyorum:

1) Bi dogru ciz. Mesela $x+y=4$ olsun.
2) Bu dogru ilk bolgede ucgensel bir bolge olusturur. Bunu $y$ ekseni etrafinda dondurelim.
3) Disk metodu kullanalim, genelde daha basit goruluyor. Yari capi $x=0$ ve $x=4-y$ belirler.
4) Bu nedenle integral $y$ degerleri $0$ ile $4$ arasinda degisirken $\pi((4-y)-0)^2$ alanli diskleri tarar.
5) Demek ki integralimiz $\int_{0}^4\pi(4-y)^2dy$ olmali.
_________________
6) Silindirik yontem icin yari capi $x$ ve dondurme noktasi $0$ yukseligi ise $y=0$ ve $y=4-x$ beliler.
7) Bunu silindir yapilmis bir karton olarak dusunelim. Bu nedenle $x$ degeri $0$ ile $4$ arasinda dolasirken $2\pi((4-x)-0)(x-0)$ dis alanli silindirler tarar. 
8) Demek ki integralimiz $\int_0^42\pi x(4-x)dx$ olur.

Comments

İlginiz için teşekkürler ama tam da disk metodunu anladığımı, başka yoldan nasıl yapabileceğimi sormuştum.

---

kabuk olarak mi istiyorsun? 

---

Hayır üç katlı integral ile, dv=r^2 sin(teta) d(teta) dr d(fi) ile.

---

İnan sorundan bu anlaşılmıyor. (Bence). İstersen yeni bir başlık aç ve neler yaptığını, nerisinde takıldığını belirt üç katlı integralin. Bu daha iyi olur gibi.

---

Kübik bir hacim seçmekten kastım buydu. Anlaşılmaması bilginin elde edildiği kaynak farkından kaynaklanıyor herhalde.

Ama gerçekten ilgilendiğiniz için teşekkürler, resim boyutu büyük olduğu için link veriyorum.

http://hizliresim.com/5m30ld

Edit: eğer küre hesaplıyor olsaydım, r yi sıfırdan R ye, teta yı da sıfırdan pi ye kadar alacaktım, ama burda r nin değeri tetadan bağımsız değil. Bu sebeple dediğiniz gibi bir disk seçmek daha mantıklı ve kolay. Ama bu gibi durumlarda yani iki integral değişkeninin birbirinden bağımsız olmaması durumunda ( her bir teta değeri için tekrar r nin sınırları değişiyor)  ne yapılabilir? 

Bunu merak etmiş ve sormuştum, fakat çok uzattım meseleyi üzgünüm. 

Answer 2

Küresel koordinatlarda, taban yarıçapı $a$ yüksekliği $h$ olan koni (resimdeki gibi yerleştilip, resimdeki koordinat harfleri ile)

$0\leq \phi\leq2\pi,\quad 0\leq\theta\leq\alpha,\quad 0\leq r\leq\frac h{\cos\theta}\quad(\tan\alpha=\frac ah,\ \ 0<\alpha<\frac\pi2)$ olarak yazılabildiği için, hacmi veren $\int_R1\ dV$ (üç katlı)  integrali küresel koordinatlarda resimdeki ardışık integrale dönüşür.