$V_x=-\frac{y^2 \left(x^2+2 x y-300\right)}{(x+y)^2}=0 $
$\Rightarrow y=0 \quad \text{veya} \quad x= -y\mp\sqrt{y^2+300} \Rightarrow (x_0,y_0)=(\sqrt{300},0), \quad (x_0,y_0)=(-\sqrt{300},0)\quad \text{kritik noktalar}$
$V_y=-\frac{x^2 \left(y^2+2 x y-300\right)}{(x+y)^2}=0 $
$\Rightarrow x=0 \quad \text{veya} \quad y= -x\mp\sqrt{x^2+300} \Rightarrow (x_0,y_0)=(0,\sqrt{300}), \quad (x_0,y_0)=(0,-\sqrt{300})\quad \text{kritik noktalar}$
$x$ ve $y$ nin sifir olmasi anlamsiz..
$x^2+2 x y-300=0$
$y^2+2 x y-300=0$
Cikarma islemi yaparsak,
$x^2-y^2=0 \Rightarrow (x+y)(x-y)=0 \Rightarrow x=y$ Yerine koyalim.
$x=-x+\sqrt{x^2+300} \Rightarrow 4x^2=x^2+300 \Rightarrow x=10 \Rightarrow y=10 \Rightarrow (x,y)=(10,10)$ kritik noktadir. Bu kritik nokta gercekten yerel maximum mudur?
$V_{x,x}=-\frac{2 y^2 \left(y^2+300\right)}{(x+y)^3}$
$V_{x,y}=V_{y,x}=-\frac{2 x y \left(x^2+3 xy+y^2-300\right)}{(x+y)^3}$
$V_{y,y}=-\frac{2 x^2 \left(x^2+300\right)}{(x+y)^3}$
$D(V(x,y))=\left(\begin{array}{cc}
V_{xx} & V_{xy} \\
V_{yx}& V_{yy} \\
\end{array}
\right)$
$D(V(x_0,y_0))=\left|
\begin{array}{cc}
V_{xx} & V_{xy} \\
V_{yx}& V_{yy} \\
\end{array}
\right|= V_{xx}(x_0,y_0) V_{yy}(x_0,y_0)- [V_{xy}(x_0,y_0) ]^2$
Eger $D(V(x_0,y_0))$>0 ve $V_{xx}(x_0,y_0)<0, $ ise $(x_0,y_0) $noktasi $V(x,y)$ fonksiyonunun yerel maximumudur.
Eger $D(V(x_0,y_0))$>0 ve $V_{xx}(x_0,y_0)>0, $ ise $ (x_0,y_0)$ noktasi $V(x,y)$fonksiyonunun yerel minimumdur.
Eger $D(V(x_0,y_0))<0$ ise $ (x_0,y_0)$ noktasi $V(x,y)$ fonksiyonunun eyer noktasidir.
Eger $D(V(x_0,y_0))=0$ ise ikinci turev testi birsey demez..
$D(V(x_0,y_0))=V_{xx}(x_0,y_0) V_{yy}(x_0,y_0)- [V_{xy}(x_0,y_0) ]^2$
$D(V(x_0,y_0))=V_{xx}(10,10) V_{yy}(10,10)- [V_{xy}(10,10) ]^2=(-10)(-10)-(-5)^2=75>0$ ve
$V_{xx}(10,10)=-10<0$ oldugundan $(x,y)=(10,10)$ noktasi yerel minimum dur.
$z=\frac{300-xy}{x+y} \Rightarrow z=10$. Demek ki insa etmemiz gereken boyutlari $(x,y,z)=(10,10,10)$ olan bir kupmus