$Mdx + Ndy = 0$ homojen diferansiyel denklem ise, $x=r.cosß , y=r.sinß$ dönüşümünün bu denklemi r ve ß değişkenleri cinsinden ayrı­labilen bir diferansiyel denkleme dönüştüreceğini gösteriniz.

Question

$Mdx + Ndy = 0$ homojen diferansiyel denklem ise, $x=r\cos \beta , y=r\sin \beta$ dönüşümünün bu denklemi r ve $\beta$ değişkenleri cinsinden ayrı­labilen bir diferansiyel denkleme dönüştüreceğini gösteriniz.

Answer 1

homojen bir diferansiyel denklem olduğundan, $ M(x,y) $ fonksiyonunda yerine koyarsak değişkenleri $  M(r \cos \beta,r \sin \beta) $  ve  $ M(r \cos \beta,r \sin \beta) $  fonksiyonunu elde ederiz. Şimdi $ dx $ ve $ dy $ yi bulmamız lazım.

$ dx = dr\; \cos \beta - d\beta \sin \beta\; r $

$ dy=dr\; \sin \beta+d\beta \cos \beta\; r $

$ M\;dx+N\;dy=0 $ denkleminde yerlerine yazıp değerleri, $ dr $ ve  $ d\beta $ parantezine alırsak;

$ (M\cos\beta+N\sin\beta)dr+(Nr\cos\beta -Mr\sin\beta )d\beta=0 $
denklemini elde ederiz. Şimdi, $ N $ ve $ M $'leri $ \cos \beta $ ve $ \sin \beta $ cinsinden yazdığımızda hepsi dışarı bir $ r $ çıkaracak ve o $ r $'leri götürebiliriz. $ M $ ve $ N $'ler $ \beta $ cinsinden olduğundan dolayı $ dr $'nin katsayısı $ \beta $ cinsindendir ve $ d\beta $'nin katsayısını $ r $ parantezine alıp, hertarafı $ r $'ye ve $ dr $'nin katsayısına böldüğümüzde, diferansiyel denklemi ayırmış oluruz.

$$ \frac{dr}r+\frac{N\cos\beta-M\sin\beta }{M\cos\beta+N\sin\beta} d\beta=0 $$

Comments

Latex ile yazdım. $M$ ve $N$ , aynı mertebeden homojen olmalı.

Answer 2

Teşekkür ederim.