$G$ bir grup, $H \leq G$ olsun. Eğer her $x\in G$ için $x^2 \in H$ ise, $H \trianglelefteq G$ olduğunu ve bu durumda $G/H$ bölüm grubunun bir Abel grubu olduğunu gösteriniz.

Question

İpucu olarak $x\in G$, $h\in H$ için $xhx^{-1}=(xh)^2h^{-1}(x^{-1})^2$ verilmiş ama nasil kullanmaliyim anlamadım...

Comments

$N$ nedir? yani sorunun neresi ile iliskili?

---

Ayrica ipucu: $xhx^{-1}=(xh)^2h^{-1}(x^{-1})^2$ olmali.

---

Duzenledim :)

Answer 1

Amac: her $x \in G$ icin $xHx^{-1 }\subseteq H$ oldugunu gostermek.
Ispat: Her $x \in G$ ve $h \in H$ icin $xhx^{-1}=(xh)^2h^{-1}(x^{-1})^2 \in H$ olur. Cunku kareler $H$'nin icerisine duser.

Ikincisi icin: $a \in G/H$ alalim. $a^2 \in H/H$ olur. Yani birim eleman olur. Eger bir grupta her $x$ elemani icin $x^2=e$ ise grup abel olur.