$\mathbb{N}$ üzerinde temel olmayan (non-principal) bir $\mathcal{U}$ ultrafiltresi alalım. $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ kümesinin her elemanını bu alt kümeye karşılık gelen karakteristik fonksiyon ile özdeşleştirirsek $\mathcal{U}$'yu $2^{\mathbb{N}}$'nin bir alt kümesi olarak görebiliriz. $2^{\mathbb{N}}$ çarpımını $2=\{0,1\}$ üzerine ayrık topoloji koyduktan sonra çarpım topolojisi ile donatırsak, $\mathcal{U}$ ilgili uzayın Borel bir alt kümesi değildir. Bu teoremin standart kanıtının taslağı şöyle:
$2$ üzerine $\{0\}$ ve $\{1\}$'in eşit olasılıkta gerçekleştikleri olasılık ölçümünü koyup çarpım olasılık uzayını oluşturursak $2^{\mathbb{N}}$'yi Borel kümeleriyle birlikte bir olasılık uzayı olarak görebiliriz. $\mathcal{U}$ kümesi, içindeki her 0-1 dizisi üzerinde sonlu sayıda koordinatın değiştirilmesi altında kapalı olduğundan (çünkü esas olmayan bir ultrafiltre olduğundan Fréchet filtresini içeriyor), eğer Borel bir küme olsaydı, bir kuyruk olayı (tail event) olduğu için Kolmogorov 0-1 yasası gereği ya $0$ ya da $1$ olasılığa sahip olurdu. Öte yandan $2^{\mathbb{N}}$ üzerinde $0$ ile $1$ bitlerinin yerini değiştiren dönüşüm ölçüm koruyan bir dönüşümdür ve $\mathcal{U}$'yu tümleyenine götürür. Dolayısıyla, eğer Borel bir küme olsaydı, $\mathcal{U}$'nun olasılığı $1/2$ olurdu. Çelişki.
Sorum aslında bu teoremle ilgili bir referans talebi ve açık uçlu bir soru. Ne yazık ki bu teoremin yukarıdaki kanıtı dışında başka bir kanıtını bilmiyorum ve şu ana kadar araştırdığım kaynakların hepsi de bu kanıtı kullanıyor.
Bu teoremin bilinen başka bir kanıtı var mı? 0-1 yasalarının kullanımından bir şekilde kaçabilir miyiz?