'Serbest bir grubun alt grupları da serbesttir' önermesinin topolojik kanıtı

Question

'Serbest bir grubun alt grupları da serbesttir' önermesinin cebirsel kanıtı uzun ve sıkıcı diye düşünüyorum. Hatırladığım kadarıyla bu ifadeyi topolojik yöntemlerle kanıtlamak için birkaç satır yeterli, tabii öncesinde bazı tanımlar ve ifadeler vererek.

Ama nasıl?

---

serbest grup: free group

Answer 1

Cebirsel topolojik kanıtının özeti:

Verilen serbest grubun her bir üretci için bir çember alıp bunları bir noktada yapıştırıyoruz.van Kampen' in teoreminden, bu uzayın (grafik de diyebiliriz)  esas grubu, verilen serbest gruba izomorfik oluyor. Daha sonra verilen alt gruba karşı gelen örtü uzayını (bu uzayın esas grubu, verilen alt gruba izomorfik oluyor) oluşturuyoruz. Bu örtü uzayı da  bir grafik oluyor. Bir grafiğin esas grubunun serbest olduğunu ispatlıyoruz. Her iki grup da sonlu üreteçli ise, üreteç sayıları arasında bir ilişki de bulunabiliyor