İngilizce'den Türkçe'ye çevrilmiştir:
Kaynak: http://mathcircle.berkeley.edu/archivedocs/2015/contest/mc1.pdf
P(x), reel katsayıları olan ve sıfır polinomu olmayan bir polinom olsun, öyle ki,
$ P(x) = P(0) + P(1) . x + P(2). x^2 $ , tüm x ler için geçerlidir.
P(x) 'in köklerini bulunuz.
$P(x)=P(0)+P(1) \cdot x+ P(2) \cdot x^2 \\ x=0 \Rightarrow P(0)=P(0)+0+0 \\ x=1 \Rightarrow P(1)=P(0)+P(1)+P(2) \rightarrow P(0)=-P(2) \\ x=2 \Rightarrow P(2)=P(0)+2 \cdot P(1)+4 \cdot P(2) \\ -3P(2)=-P(2)+2P(1) \\ P(1)=-P(2)=P(0) \\ P(0)=k \in \mathbb{R} \Rightarrow P(x)=k+kx-kx^2=k(1+x-x^2)=-k(x^2-x-1) \\ \Delta=b^2-4ac=5 \\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
İlk satırda son terim niçin çarpma şeklinde, acaba latex hatası mı?
P(0) = P(1) = - P(2) eşitliği doğru. Polinomun kökleri doğru.
Aradaki $+$ işaretini atlamışım.
Eşitliği düzelttim.