Bir vektör alanının (vektör değerli fonksiyonun) integrali konusunda hızlı cevap almak isteyenler hemen son paragrafa atlayabilir. Soruyu cevaplarken kastedilen integrallerin $\mathbb{R}^n$'de Riemann integraller olduğunu ve sorunun temel bir analiz (Calculus) dersiyle motive olduğunu varsayıyorum.
Bir $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu ve bir $U\subset \mathbb{R}^n$ bölgesi alalım. $U$'nun gittikçe küçülen bölümlemelerinde her bir parçanın hacmiyle $f$'nin oradaki herhangi bir değerinin çarpımından oluşan sonlu toplamın, hacimler sıfıra giderken limitine bakıyoruz. Bu tarifteki tüm seçimlerden bağımsız olarak bu limit varsa ve hep aynı reel değerse, $f$'ye $U$'da (Riemann) integrallenebilir denir.
Şimdi, bir $f:U\subset\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu $U$'da integrallenebilir olsun. Yukarıdaki tanım, integralin değerinin (yani limitin) $f$'nin $\mathbb{R}^2$'de grafiği ile $x$ ekseni arasında kalan (işaretli) alan olduğunu söylemiyor tabii ki. Eğer böyle bir gerçek varsa bu bir teorem olmalı. Nitekim öyle. $\mathbb{R}^2$'de iki eğri arasında kalan alan doğru dürüst tanımlanırsa, $f$'nin integralinin tam da altta kalan alan olduğu görülebilir. Soyut tanımdan gelen integralin değerinin somut bir geometrik durumda bir çokluğa eşit olması durumunda bu somut duruma integralin bir modeli diyoruz. Bir model, integralin anlamı nedir sorusuna kısmi bir cevap oluşturur. Buradaki $\int_U f$ için başka bir model olabilir miydi? Elbette olurdu. Örneğin, $f$ fonksiyonu, $U$ boyunca sıcaklığı anlatsın. O zaman $\int_U f / (U$'nun boyu$)$, $U$ üzerinde ortalama sıcaklığı verecektir. Bu da $f$'nin integrali için bir model oluşturur.
Sorulan soruya gelirsek, $n>1$ için $F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$, $\mathbb{R}^n$'de bir vektör alanı (vektör değerli bir fonksiyon) olsun. Yukarıdaki integral tanımı sadece reel değerli fonksiyonlar için yapılmıştı. $F$'yi bir integrale oturtabilmek için reel değerli bir fonksiyon üretmeliyiz. $F$'den fonksiyon üretmenin sonsuz yolu var. Örneğin $F$'nin ilk bileşenini alırsanız bu reel değerli bir fonksiyondur ve verilen bölgede integrali tanımlıdır. Peki, o integralin anlamı nedir? Bu integrali bir miktar anlamlı kılacak bir model var mıdır? Tarihsel ve bilimsel olarak, vektör alanlarından fonksiyon üretilerek alınan bazı integrallerin çok iyi temellendirilmiş modelleri vardır.
Şimdi soruya cevap oluşturması açısından, standart bir temel analiz (calculus) kitabında karşılaşabileceğiniz bu tür bazı integralleri ve bunlara anlam veren modelleri listeliyorum:
-
$F=(P,Q):U\subset\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$, yani $P$ ve $Q:U\rightarrow \mathbb{R}$.
$$\int_U (Q_x -P_y) dA$$$F$'nin curlünün uzunluğunu ifade eden fonksiyonun integrali. $F$'nin $U$'daki "dönüş"ünü hesaplar. Bu da $F$ kuvvet alanının $U$'nun kenarında yaptığı işe eşittir (Green'in teoremi).
$$\int_U (P_x +Q_y) dA$$ $F$'nin divergence fonksiyonunun integrali. $F$'nin $U$'daki net kaynağını hesaplar. Bu da $U$'nun dışına doğru net "akı"ya eşittir (Stokes'un teoremi).
-
$F=(P,Q,R):U\subset\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$, yani $P,Q$ ve $R:U\rightarrow \mathbb{R}$$$\int_U (P_x +Q_y+R_z) dA$$$F$'nin divergence fonksiyonunun integrali. $F$'nin $U$'daki net kaynağını hesaplar. Bu da $U$'nun kenarında dışa doğru net "akı"ya eşittir (Stokes'un teoremi).
Biraz daha genel olarak, $U$, $\mathbb{R}^n$'de $k$ boyutlu bir manifold olabilir. Kafaları karıştırmadan iki basit örnek veriyorum.
-
$n=2$, $k=1$, $U\subset\mathbb{R}^2$, $(a,b)$ aralığıyla parametrize edilmiş bir eğri. $F=(P,Q):\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$.
$$\int_U F \cdot dr = \int_U Pdx + Qdy$$
$F$ kuvvet alanının $a$'dan $b$'ye $U$ boyunca yaptığı işi hesaplar.
-
$n=3$, $k=2$, $U\subset\mathbb{R}^3$ parametrize edilmiş bir yüzey. $F:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$.
$$\int_U F \cdot n dS$$
$F$ akış alanının $U$'dan dışarıya doğru net "akı"sını hesaplar.