Bence en yanlış öğretilen, haliyle de en yanlış anlaşılan, konulardan birisi limit. Öncelikle, herhangi bir $a$ sayısı için tanımlı $a/0$ diye bir sayı yoktur. Neden, anlatayım. $a$ ve $b$ iki (reel) sayı iken $a/b$'den bahsedebilmek için $$\frac{a}{b}=x, \text{ yani } a=bx$$ denkleminin tam olarak $1$ tane çözümü olması gerekir. Burada $b=0$ yazarsak, yani herhangi bir $a$ sayısını $0$'a bölmeye çalışırsak $$a=0.x$$ denklemiyle karşılaşırız ve tabii ki bu denklemin çözümü $a$ sıfırdan farklıysa yoktur. Demek ki $0$'dan farklı sayıları $0$'a bölemiyoruz. Bunu aklımızda tutalım. Bakalım $0$'ı, $0$'a bölebiliyor muyuz. Bunun için $$0=0.x$$ denklemin bakmalıyız. Fakat bu sefer de denklemimizin sonsuz tane çözümü var. Demek ki herhangi bir sayıyı $0$'a bölemeyiz. Bu bir kenarda dursun.
Aslında sorunun kendisinde bahsedilen "sayı bölü sıfır", bildiğimiz bölme işleminden değil (çünkü yukarıda anlattığım nedenlerden herhangi bir sayıyı $0$'a bölmek mümkün değildir) bir limitten bahsediyor. Mesela $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}, \text{ ya da } \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$$ gibi. Limit kurallarından bir tanesi şunu söylüyor: Eğer $$\lim_{x \to a} f(x)=L_1 \text{ ve } \lim_{x \to a} g(x) = L_2$$ ise, o zaman $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$$ eşitliği geçerlidir. Fakat bu kural tabii ki $L_2=0$ ise geçerli değildir, olamaz, çünkü $L_1/0$ diye bir sayı tanımlı değildir.
Dolayısıyla eğer $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$ formunda bir limiti hesaplamak istiyorsanız ve $\lim_{x \to a}g(x)=0$ ise limit kurallarının güvenli kollarına sığınarak sonucu bulamazsınız. "Sayı bölü sıfır belirsizliği" deyip de içini doldurmaya zahmet etmedikleri, haliyle kimsenin de kolay kolay anlayamadığı durum budur.
Peki sorular nasıl çözülür? Limit kavramının ne olduğunu anlayarak. Bunu ayrıca yazmak lazım limit başlığında, şimdilik kaba bir tanımla idare edelim: Eğer $x$, $a$'ya yakın değerler alırken, $f(x)$ de $L$'ye yakın değerler alıyorsa bunu $$\lim_{x \to a} f(x)=L$$ diye gösterir ve $x$, $a$'ya giderken $f(x)$'in limiti $L$'dir deriz. Eğer böyle bir $L$ sayısı yoksa fonksiyonun $a$ noktasında limiti yoktur.
Mesela $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$$ limitine bakalım. Bir kaç sayı verip bakalım: $$x=0.1 \rightarrow 1/x^2= 100, \qquad x=-0.1 \rightarrow 1/x^2= 100$$, $$x=0.01 \rightarrow 1/x^2= 10000, \qquad x=-0.1 \rightarrow 1/x^2= 10000$$
Tabii ki $x$ yerine sıfıra yakın pozitif ya da negatif sayılar koyarsak, $x^2$ yine sıfıra yakın ve pozitif bir sayı çıkar. Ayrıca $1$'i sıfıra yakın pozitif bir sayıya bölersek büyük bir sayı buluruz. Seçtiğimiz $x$ değerleri sıfıra yaklaştıkça, $1/x^2$ değerleri daha da büyük olacaktır. Demek ki $$\lim_{x \to a} \frac{1}{x^2}=L$$ olacak hiç bir $L$ sayısı yoktur, çünkü $L$ sayısını ne kadar büyük seçersek seçelim $1/x^2$, $L$'den büyük değerler alacak.
Fakaaat burada $1/x^2$ fonksiyonu ile ilgili söyleyebileceğimiz önemli bir bilgi var: $x$, sıfıra yakın değerler aldıkça $1/x^2$ fonksiyonu hiç bir üst sınır olmadan istediğimiz kadar büyük değerler alıyor. Bu bilgiyi kısaca $$\lim_{x \to a} \frac{1}{x^2}= \infty$$ diye yazar, fonksiyonumuz "sonsuza gidiyor" ifade ederiz. Dikkat edin burada $\infty$ bir sayı değildir, bir yer de değildir. Sonsuz diye bir sayı da bir yer de yoktur. Yukarıdaki ifade bu fonksiyonun limitinin olduğunu söylemiyor (çünkü yok), fonksiyonun $x=0$ noktası etrafındaki davranışının ne olduğunu söylüyor. Benzer şekilde eğer fonksiyonumuz hiç bir alt sınır olmadan, istediğimiz kadar küçük değerler alırsa bunu "eksi sonsuza gitmek" şeklinde ifade ederiz.
En son olarak $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$$ limitine bakalım. Burada eğer $x$, $0$'a yakın ve pozitif değerler alırsa $1/x$ pozitif büyük bir sayı olur, ve $x$'i pozitif taraftan sıfıra yaklaştırarak $1/x$'i dilediğimiz kadar büyük yapabiliriz. Yani $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=\infty$$ olur. Öte yandan $x$, yine sıfıra yakın fakat negatifse $1/x$ de negatif olur ve bu sayıyı istediğimiz kadar küçük ($-10$, $-100, \dots$ gibi) yapabiliriz. Yani $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty$$ olur.