Önce iki denklik sınıfının ayrık yada çakışık olduğunu göstereceğiz. Sonra da denklik sınıflarının birleşiminin $A$'yı verdiğini.
1- $a,b\in A$ olmak üzere $[a]\cap [b]=\emptyset$ yada $[a]=[b]$.
Kabul edelim ki; $[a]\cap [b]\neq \emptyset$ olsun. Bu durumda $c\in [a]$ ve $c\in [b]$ olacak şekilde bir $c\in A$ vardır. $c\in [a]$ ise $c\beta a$ ve $c\beta b$ simetri özelliğinden $b\beta c$ ve geçişme özelliğinden $b\beta a$ ve $a\beta b$. $x\in [a]$ olsun. Bu durumda $x\beta a$ ve $a\beta b$ olduğundan $x\beta b$ olur ki; bu ise $[a]\subseteq [b]$ demektir. Benzer şekilde $[b]\subseteq [a]$ olduğunu görebiliriz.
2-$A=\displaystyle\cup_{a\in A}[a]$ olduğunu görelim.
$x\in A$ olsun. Yansıma özelliğinden $x\beta x$ olup $x\in [x]$ yani; $x\in \displaystyle\cup_{a\in A}[a]$ bulunur. Diğer kapsama her zaman sağlanır.