Question

$x+y+z=1,  x^2+y^2+z^2=2, x^3+y^3+z^3=3\ ise$ $$x^4+y^4+z^4 \ kaçtır?$$

Answer 1

Pişmiş aşa su katmak gibi olacak ama ben de ilginç olacağını düşündüğüm bir noktaya dikkat çekmek istiyorum. Lisans öğrenimindeki öğrenciler için bu ve benzeri problemlerin çözümünde öz değer fikri kullanılırsa kanımca daha şık ve hesabı daha zahmetsiz bir çözüm elde ediliyor. 
Verilen sayıları $x,y,z$ yerine $x_{1},x_{2},x_{3}$ ile gösterecek olursak aşağıdaki yazım daha kolay olacak.

Kökleri $x_{1},x_{2},x_{3}$ olan monik polinom $p=x^{3}-ax^{2}+bx-c$ olsun. $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ olduğuna göre $a=1$ dir.    
\[
A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
c & -b & 1
\end{array}
\right)
\]
$A$ matrisinin karakteristik polinomu $\det \left( xI-A\right) =p\left(x\right) $ olduğundan $A$ nın öz değerleri $x_{1},x_{2},x_{3}$ dir. $1=x_{1}+x_{2}+x_{3}$, $A$ matrisinin $iz(A)$ izidir.  $k\geq 1$
ise $x_{1}^{k},x_{2}^{k},x_{3}^{k}$ sayıları $A^{k}$ matrisinin öz değerleri ve $x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+x_{3}^{k}=iz(A)^{k}$ dır. O halde
\begin{eqnarray*}
2 &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=iz(A^{2})=iz \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
c & -b & 1 \\
c & c-b & 1-b
\end{array}
\right)  \\
&=&1-2b\Longrightarrow b=-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
3 &=&x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=iz(A^{3})=iz \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
c & \frac{1}{2} & 1
\end{array}
\right) ^{3} \\
&=& iz \left(
\begin{array}{ccc}
c & \frac{1}{2} & 1 \\
c & c+\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2}c & c+\frac{3}{4} & c+2
\end{array}
\right) =3c+\frac{5}{2}\Longrightarrow c=\frac{1}{6}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4} &=&iz(A^{4})=iz \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 1
\end{array}
\right) ^{4} \\
&=& iz \left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{3}{2} \\
\frac{1}{4} & \frac{11}{12} & \frac{13}{6} \\
\frac{13}{36} & \frac{4}{3} & \frac{37}{12}
\end{array}
\right) =\frac{25}{6}
\end{eqnarray*}
İkinci bir çözüm için Newton bağıntılarını kullanabiliriz. (Ne yazık ki bu biraz ezberi gerektiriyor. Bu formülleri aşağıdaki linkte bulabilirsiniz.)

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Newton%27s_Sums

Bir $P\left( x\right) =a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$
polinomunun kökleri $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ve $S_{k}=$ $
x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}$ ise

$a_{n}S_{1}+a_{n-1}=0$

$a_{n}S_{2}+a_{n-1}S_{1}+2a_{n-2}=0$

$a_{n}S_{3}+a_{n-1}S_{2}+a_{n-2}S_{1}+3a_{n-3}=0$

$a_{n}S_{4}+a_{n-1}S_{3}+a_{n-2}S_{2}+a_{n-3}S_{1}+4a_{n-4}=0$ dır. Kö
kleri  $x_{1},x_{2},x_{3}$ olna $p=x^{3}-ax^{2}+bx-c$ polinomu için bu denklemleri yazacak olursak:

$1-a=0\Longrightarrow a=1$

$S_{2}-S_{1}+2b=0\Longrightarrow 2-1+2b=0\Longrightarrow b=-\frac{1}{2}$

$S_{3}-S_{2}-\frac{1}{2}S_{1}-3c=0\Longrightarrow 3-2-\frac{1}{2}
-3c=0\Longrightarrow c=\frac{1}{6}$

$S_{4}-S_{3}-\frac{1}{2}S_{2}-\frac{1}{6}S_{1}+4\cdot 0=0\Longrightarrow
S_{4}-3-1-\frac{1}{6}=0\Longrightarrow S_{4}=\frac{25}{6}$

bulunur.

Comments

Eline sağlık hocam ben bu çözümü bilmiyordum çok faydalı oldu teşekkürler

Answer 2

$x+y+z=1$ her iki tarafın karesini alırsak:

$x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=1$ ve $x^2+y^2+z^2=2$ olduğuna göre $2+2(xy+xz+yz)=1$ oradan da $xy+xz+yz=-\frac{1}{2}$ olmalıdır. Buradan sonra ise biraz uğraşmamız gerekecek... 

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2)+6xyz=1$,

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2=2$ buradan da

$3(x^2+y^2+z^2+x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2)=6$ denklemi elde edilir. Denklemleri taraf tarafa çıkarırsak:

$2(x^3+y^3+z^3)-6xyz=5$ denkleminde $x^3+y^3+z^3=3$ eşitliğini yerine yazarsak $xyz=\frac{1}{6}$ eşitliği bulunur.

Bu sefer 3 farklı denklemimiz var:

$(x+y+z)^4=x^4+y^4+z^4+4(x^3z+x^3y+xy^3+y^3z+xy^3+xz^3)$

$+6(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)+8(x^2yz+xy^2z+xyz^2)=1$,

$(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)=x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+xz^3+yz^3=3$ buradan

$4(x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+xz^3+yz^3)=12$,

$(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)=x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)=4$ buradan

$3(x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2))=12$ denklemleri elde edilir. 2. ve 3. denklemlerin toplamından 1. denklemi çıkarırsak:

$6(x^4+y^4+z^4)-8(x^2yz+xy^2z+xyz^2)=23$

$x^2yz+xy^2z+xyz^2=xyz(x+y+z)=\frac{1}{6}$ olduğuna göre yerine koyulursa:

$6(x^4+y^4+z^4)-\frac{4}{3}=23$ oradan da 

$x^4+y^4+z^4=\frac{73}{18}$ bulunur.

Comments

Elimde sadece tlf var ayrıntılı yazamıyoeum ama -1/2 ve 1/6 şarı bende buldum ama sonucu 25/6 buldum işlemlerimi bir daha kontrol edeyim 

---

Hocam sizin cevap mı doğru benim cevap mı? Sizin işlemlerde hata çıktı mı ben de ona göre işlemlerimi kontrol edeyim.

---

Ben hata bulamadım yaptıklarımda ama ben x^4+y^4+z^4 farklı açmıştım tekrar kontrol ettim hata yok gibi ama çok işlem olduğu için gözden kaçabilir sizde kontrol edin isterseniz

---

Hocam işin tuhafı ben de hata bulamadım. Ama hata muhtemelen benim çözümümdedir. Çarparken illaki bir şey kaçırmışımdır. 

---

Evet hocam hata bendeymiş yazmaya üşendiğimden $(x+y+z)^4$'ün açılımını internetten bakmıştım o açılımda hata varmış. Doğrusu $8(x^2yz+xy^2z+xyz^2)$ değil $12(x^2yz+xy^2z+xyz^2)$ olmalı oradan sonuç $\frac{25}{6}$ oluyor.

---

saolun hocam uğraştığınız için 

---

Ne demek hocam seve seve...