$W= \{ (a,b,c) : a+b+c=0 \}$ kümesi için
$i)$ $W$ nin ${\mathbb{R}}^3$ vektör uzayının bir alt uzayı olması için
$a)$ $W$ boş olmamalı,
$(0,0,0)\in W$ olduğundan $W$ boş değil.
$b)$ $x,y\in W$ için $x+y\in W$ olmalı,
$x=(a_1,b_1,c_1)$ , $y=(a_2,b_2,c_2)$
$x+y=(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)$
$(a_1+a_2)+(b_1+b_2)+(c_1+c_2)=(a_1+b_1+c_1)+(a_2+b_2+c_2)=0$
olduğundan $x+y\in W$
$c)$ $ x=(a,b,c) \in W$ ve $k\in \mathbb{R}$ için $kx \in W$ olmalı
$kx=k(a,b,c)=(ka,kb,kc)$
$ka+kb+kc=k(a+b+c)=k.0=0$
olduğundan $kx\in W$
dolayısıyla $W$, $\mathbb{R^3}$ ün bir alt uzayıdır.
$ii)$ $W$ nin bir bazını ve boyutunu bulalım.
$W=\{ (a,b,c): a+b+c=0 \}$
$=\{ (a,b,c): a=-b-c \}$
$=\{ (-b-c,b,c): b,c\in \mathbb{R} \}$
$=\{ b(-1,1,0)+c(-1,0,1): b,c\in \mathbb{R} \}$
Yani $W$ nin bir bazı $\{ (-1,1,0),(-1,0,1) \}$ dir. İçindeki vektörler doğrusal bağımsız olduğundan $W$ nin boyutu 2 dir.
$iii)$ $ii)$ de bulduğumuz bazı $\mathbb{R^3}$ için bir baz olacak şekilde genişletirsek, $\{ (-1,1,0),(-1,0,1),(1,0,0) \}$ kümesi $\mathbb{R^3}$ için bir baz olur.