Ben bolmeye $\mathbb{R}$ uzerinde bir islem dememeyi, yeni bir tanim vermeye tercih ederim. Safak Ozden'in verdigi tanim hem cok kullanisli, hem de bir o kadar sade.
Ama $\alpha \subset A^2$ alt kumesi icin cok fazla secenek var. Ve buyuk ihtimalle her $\alpha$ guzel bir sonuc vermeyecek. Mesela, $\alpha$ bos kumeyse ya da $\alpha$'nin eleman sayisi 1 ise o zaman pek de ise yarar bir sey elde etmis olmuyoruz. Ya da ornegin $(a,b) \in \alpha$ ama $(b,a) \notin \alpha$ olabilir. Ha mesela $\alpha = A \times B$ seklinde bir kumedir ve $B$ bir $A$-moduldur. O zaman bir nebze mantikli bir islem yapmis oluruz ama ben yine de bu isleme ikili islem demenin dogru olacagini sanmiyorum. Ya da baska bir ornek olarak $(a,b), (c,d) \in \alpha$ ve $(a,d), (c,b) \notin \alpha$ olabilir.
Sanirim bir kume uzerinde ikili islemden isteyebilecegimiz en masum sey bir "carpim tablosu" ya da islem tablosu olabilir. Bunun da genelde "kare" seklinde olmasini isteriz (Kardinaliteden bagimsiz olarak boyle bir kareyi hayal edebiliriz heralde, sayilabilirlikten bahsetmiyorum.). Ama $\alpha$ herhangi bir kume olursa bunu elde edemiyoruz.
Her seyi bir kenara birakacak olursak, ben bu tanimin neden yararli olacagini goremiyorum. Benim 'islem' denince aklima gelen Safak Ozden'in tanimi. Hatta $X \otimes X \to X$ seklinde bir fonksiyon. Ama $\alpha \subset A^2$ olacak sekilde bir tanim "bolmeye islem demek"ten baska bir amaca hizmet edecekse, sapkami onume alir eyvallah derim.