Sayıların $10$ tabanında logaritmalarını istediğimiz yakınlıkta nasıl hesaplayabiliriz?

Question

Soruyu $10$ tabanında soruyorum ama buna verilecek yanıtın genel bir taban için de uygulanabilecektir. Bildiğimiz gibi bir $A$ pozitif reel sayısının $10$ tabanındaki logaritması $\log_{10}A$ aşağıdaki denklemin $x$ için çözümü olarak tanımlanmıştır:

 
$$10^x=A$$.

 
Bu tanım kullanılarak bir sayının $10$ tabanındaki logaritması $\delta\in\mathbb{R}_{>0}$ yakınlıkta nasıl bulunabilir? $\delta$ yakınlıktan kasıt şu: Eğer $\alpha\in\mathbb{R}_{>0}$ reel sayısı

$$|\log_{10}A-\alpha|<\delta$$

eşitsizliği sağlanıyorsa $\alpha$ reel sayısı, $\log_{10}A$ değeri için $\delta$ yakınlıkta bir kestirimdir deriz.

 

Not: Elbette bu soru Taylor açılımıyla kolaylıkla çözülebilir. Ama soru ortaöğretim kategorisinde.

Answer 1

$A>1$ için çözüm:

$\log_{10} A=n,abc\cdots$ (10 tabanında!) ise $n,\ A$ nın (tamsayı kısmının) 10 tabanında rakam sayısından bulunur.

$A=10^{n+0,abc\cdots}=10^{n}10^{0,abc\cdots}$ olur. Buradan

$10^{0,abc\cdots}=\frac A{10^n}$ olur. Her iki tarafın 10 ncu kuvvetini alalım.

$10^{a,bc\cdots}=\left(\frac A{10^n}\right)^{10}$ oluşundan,

$a$, $\left(\frac A{10^n}\right)^{10}$ in (tamsayı kısmının) basamak sayısından bulunur. Bu şekilde devam edilir.

Ek: $0<A<1$ ise  $\log A=-\log\frac1A$ eşitliği kullanarak bulunabilir.