Asimptotu verilen hiperbolün denklemi

Question

$ (10,6\sqrt2)  $  noktasından geçen standart pozisyondaki bir hiperbolün 

bir asimptotu olarak $6x-5y=0$ doğrusu verilmiştir. Hiperbolun denklemini bulunuz.

Answer 1

Odakları $\vec{ox}$ üzerinde olan satndart bir hiperbolün denklemi :$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ şeklindedir. Hiperbol $(10,6\sqrt2)$  noktasından geçtiği için :$ \frac{100}{a^2}-\frac{72}{b^2}=1......(1)$ elde edilir. 

Diğer taraftan standart hiperbolün asimptotları $y=\pm\frac{bx}{a}$ dır. Verilen bir asimptut $y=\frac{6}{5}x$ olduğundan $a=5k,\quad b=6k$ şeklindedir. Bunları $(1)$ denkleminde yerine yazılır ve $k$ bulunursa;

$ \frac{100}{25k^2}-\frac{72}{36k^2}=1\Rightarrow k=\pm\sqrt2$ olarak bunur.  O halde $a=\pm5\sqrt2,\quad b=\pm6\sqrt2$ olur.

İstenilen standart hiperbol denklemi de $\frac{x^2}{50}-\frac{y^2}{72}=1$ olacaktır