Oyunlar kuramı

Question

Başlangıçta masada $k$ tane taş bulunuyor. Alper, Betül ve Ceyhun sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu masadan bir veya iki taş alıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor ve oyun sona eriyor. Oyuna her seferinde Alper başlamak üzere, oyun $k=5,6,7,8,9$ değerleri için birer kez oynanırsa, Alper bunlardan kaçını kaybetmemeyi garantileyebilir?

Comments

Birinci oyuncunun kazanan stratejisi olan oyunlara $A$, ikinci oyuncunun kazanan stratejisi olan oyunlara $B$, ucuncu oyuncunun kazanan stratejisi olan oyunlara $C$ oyunu diyelim. Bu durumda $1$ ve $2$ oyunlarinin $A$ oyunu oldugu asikar. $3$ oyununun da $B$ oyunu oldugu belli. $4$ oyunu icin eger ikinci oyuncuya $B$ oyunu birakirsak oyunu ucuncu oyuncu kazanacagindan oyunu birinci oyuncu kaybeder. Ama $4$ oyununda ikinci oyuncuya $A$ oyunu birakabiliriz. Bu da kaybetmeyen strateji oldugundan $4$ oyununa $B$ oyunu diyebiliriz. $5$ oyunu da kesinlikle $C$ oyunudur cunku ikinci oyuncuya her halukarda $B$ oyunu birakacak. $6$ oyunu icin eger ikinci oyuncuya $C$ oyunu birakirsa oyunu birinci oyuncu kazanir. $6$ oyununa da $A$ oyunu dedik. Oradan sonra devretmeye baslayacagindan $5,6,7,8,9$ oyunlari $C,A,A,B,B$ oyunu olur. Birinci oyuncunun kaybetmeyen stratejisi sorulduguna gore $6,7,8,9$ oyunlarinda kaybetmeyen stratejisi vardir. O halde cevap $4$ olmali dedim ama cevap $2$ gorunuyor.

---

Birinci oyuncu ikinci oyuncuya bir $k$ oyunu biraktiktan sonra ikinci oyuncu, $k$ oyununun birinci oyuncsu oluyor.Anlatamamis olabilirim Ali Nesin hocamizin bu konuyu anlattigi videolar var youtubeda. Onlari izleyip yazmaya calistigim seyi daha rahat anlayabilirsiniz.

Answer 1

Sira Alper'de iken yerde $4$ ya da $5$ tane tas olursa Alper'in kaybetmeme stratejisi olamaz. 

Durum 1: Alper $1$ alir, digerleri $1+2$ ya da $2+2$.
Durum 2: Alper $2$ alir, digerleri $1+1$ ya da $1+2$.

Simdi $8$ ve $9$ icin bakalim. Eger Alper $1$ tane de alsa $2$ tane de digerleri bunu $5$'e ya da $4$'e dusurebilir.

Geriye $6$ ve $7$ kalir.


$6$  icin: $1+1+1+2+1$ oyun kazandirir. $1+2+2+1$ oyun kazandirir. $1+1+2+2$ oyun kazandirir. Alper'in $1$ ile baslamasi kndisine $1$, $2$ ya da $3$ oyunu donmesini garantiler. Fakat $2$ ile baslarsa $2,2,2$ ile $0$ oyunu donebilir.

$7$ icin: ($4$'e dusurmemek icin $2$ ile baslamali) $2+1+1$ (bir $3$ oyunu), $2+2+1$ (bir $2$ oyunu), $2+2+2$ (bir $1$ oyunu). Bu durumlarda  Alper'in stratejisi (bariz) var. (Aslinda $6$ oyununda bunu da gosterdik/soyledik $1,2,3$ oyunlari bariz.)
 

Comments

Sagolun hocam. Benim yaptigim hata oyunda son hamleyi yapan kazanir diye bir sey yok. Sadece benim anlasilmasi kolay olsun diye yaptigimi soruya katmisim.