Sonsuz sayıda asal sayı olduğunu varsayalım. Her $p$ asal sayısı için $X^2=p$ eşitliğini sağlayan bir sayının rasyonel olamayacağını olmayana ergi yöntemiyle ispatlayacağız.
Diyelim ki $a$ reel sayısı $$X^2=p$$ denkleminin bir kökü olsun ve diyelim ki $a$ rasyonel bir sayı olsun. Rasyonel sayı demek iki tane tamsayının oranına eşit demek. O halde $$a=\frac{n}{m}$$ eşitliğini sağlayan $n,m\in\mathbb{Z}-\{0\}$ tamsayıları vardır (Neden sıfıra eşit olamazlar. Hangi şartlar sıfır olmamalarını sağlıyor?) Diyelim ki $m_1=\frac{m}{OBEB(m,n)}$ ve $n_1=\frac{n}{OBEB(m,n)}$ olsun. Bu durumda tabii ki şu eşitliği elde ederiz: $$a=\frac{n}{m}=\frac{\frac{n}{OBEB(m,n)}}{\frac{m}{OBEB(m,n)}}=\frac{n_1}{m_1}$$
Şuna dikkat edelim: $n$ ve $m$ sayılarının ortak böleni yok. Her iki tarafın karesini alırsak $$p=\frac{n_1^2}{m_1^2}$$ eşitliğini elde ederiz, buradan da $$pm_1^2=n_1^2$$ eşitliğini elde ederiz. Şimdi asallarla ilgili şu özelliği kullanacağız: Bir $p$ sayısı asal ise ve $\alpha\beta$ çarpımını bölüyorsa $p$ ya $\alpha$'yı ya da $\beta$'yı bölüyordur. Başka bir deyişle, bir asal sayı çarpanlardan birisini bölmüyorsa, çarpımı da bölemez. Bu bilgi ışığında $p|pm_1^2=n_1^2$ gerçeği $$p|n_1$$ sonucunu çıkartmamızı sağlar. O halde $n_1=pn_2$ yazabiliriz ($n_2$ sayısı $n_1$ sayısının $p$'ye bölümü). Bu eşitliği yukarıdaki eşitlikte yerine koyarsak $$pm_1^2=p^2n_2^2$$ eşitliğini elde ederiz. Her iki tarafı $p$ sayısına bölersek de $$m_1^2=pn_1^2$$ eşitliğini elde ederiz. Bir önceki gibi çalışarak bu eşitlikten $$p|m_1$$ sonucunu çıkartabiliriz. Sonuçta şunları bulduk.
-
$OBEB(n_1,m_1)=1$;
-
$p|n_1$;
-
$p|m_1$
Ama bu üç bilgi birbiriyle çelişiyor. O halde yaptığımız biricik varsayım ($a$ sayısının rasyonel olduğu) doğru olamaz, çünkü doğruluğu birbiriyle çelişen sonuçlar veriyor.