O cevabı zamanında ben vermiştim, bunu açıklamak da bana düştü galiba.
Öncelikle 1) kısmına bakalım. Tabii ki $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ifadesi doğru. $\mathbb{Q}\sqrt{2}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ olduğunu göstermek için, $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ olduğunu göstermek yeterli ama bu tabii ki doğru çünkü, $\sqrt{1-\sqrt{2}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$, yani $1-\sqrt{2}=(\sqrt{1-\sqrt{2}})^2\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$, yani $\sqrt{2}=1-(1-\sqrt{2})\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$.
2) için şunları doğrulamak gayet kolay,
-
$\sqrt{2}$'nin $\mathbb{Q}$ üzerindeki minimal polinomu $x^2-2$
- $\sqrt{1-\sqrt{2}}$'nin $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ üzerindeki minimal polinomu $x^2-(1-\sqrt{2})$
- $\sqrt{1-\sqrt{2}}$'nin $\mathbb{Q}$ üzerindeki minimal polinomu $x^4-2x^2-1$
Şimdi $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ cismi $x^2-2$ polinomunun $\mathbb{Q}$ üzerindeki parçalanış cismi (splitting field), demek ki $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ normal, benzer olarak $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ cismi $x^2-(1-\sqrt{2})$ polinomunun $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ üzerindeki parçalanış cismi, demek ki $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})/\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ de normal. Ama $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ cismi, $x^4-2x^2-1$ polinomunun $\mathbb{Q}$ üzerindeki parçalanıl cismi değil, çünkü $x^4-2x^2-1$ polinomunun tüm kökleri $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ cisminin içinde değil. Daha açık olmak gerekirse, $x^4-2x^2-1=(x^2-1)^2-2$ polinomunun kökleri $\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}$ ve $\pm\sqrt{1-\sqrt{2}}$ olarak bulunur. Sıkıcı işlemler sonrasında, $$\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$$ olduğunu gösterebiliriz.