$f(x)=(1/3)^x$ fonksiyonunu $x\ge 0$ için aralıkların eni 1/2 cm olacak şekilde parçalanırsa degeri ne olur?
burada $\Delta x_k=\frac12$
parçalanma noktaları $x_0=0,x_1=\frac12,x_2=\frac22...x_k=\frac k2$
$[x_{k-1},x_k]$ aralıgında en büyük degerini $f(x_{k-1})$ en kücügünü $f(x_{k})$'de alır
$S_{r}=\sum _{k=1}^{n}f\left( x_{k}\right) \Delta x=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k} {2}}=\dfrac {1} {2}\dfrac {1} {\sqrt { 3}}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right) $
büyük degeri icin $S_{l}=\sum _{k=1}^{n}f\left( x_{k-1}\right) \Delta x=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k-1} {2}}=\dfrac {1} {2}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right) $
şimdi bundan sonra $\lim _{n\rightarrow \infty } S_l \le\lim _{n\rightarrow \infty }R\left( f,P\right) \le \lim _{n\rightarrow \infty } S_r$ oldugunda sag limit ile sol limit farkli cikiyor.
cevap olarak sol limit i yani $\dfrac {1} {2\left( \sqrt3 -1\right) }$ ü almış . acaba hata nerede?