$\begin{align*} & A=0!+2!+4!+\ldots ..\\ & B=1!+3!+5!+\ldots \ldots \end{align*} $ old.göre $A.B$ çarpımının 5 ile bölümünden kalan kaçtır ?

Question

değerlerini yazıp 

örn 1+2+24.... sonuc elde etmeye çalıştım ama bulamadım

Comments

maşallah kardeşim döktürmüşün soruları :D

---

haha :D aynen bugünden kalanlar bir anda sordum :)

---

1 buldum cevabını doğrumu ?

---

şimdide 3 buldum :D

Answer 1

$A$'nin $5$'e bolumunden kalan $a$ olsun. Bu su demek: bir $k$ sayisi (bolen) icin $A = 5k + a$ ve $0 \leq a < 5$.

$B$'nin $5$'e bolumunden kalan da $b$ olsun. Bu da bir $m$ sayisi icin $B = 5m + b$ oldugunu soyluyor.

$AB = (5k + a)(5m + b) = 25km + 5bk + 5ma + ab = 5(5km + bk + ma) + ab$ oldugu icin eger $ab$'nin $5$'e bolumunden kalani biliyorsak, $AB$'nin $5$'e boleninden kalani da biliyoruz demektir.

Bir baska deyisle $A \equiv a \mod 5 $ ve $B \equiv b \mod 5$ ise $AB \equiv ab \mod 5$ olur.

Simdi senin sorun icin $a$ ve $b$ yi bulalim. Dikkat edersen $A$ icin $6!$ ve sonrasinda gelen her sayi $5$e bolunuyor. Dolayisiyla $A$'nin $5$'e bolumunden kalan ile $0! + 2! + 4!$ sayisinin $5$e bolumunden kalan ayni. $1+2+24 = 27$ sayisinin $5$'e bolumunden kalanin $2$ oldugunu da biliyoruz. Aynisini $B$ icin yaparsak da $7$ buluyoruz. Bunun da $5$'e bolumunden kalanin $2$ oldugunu biliyoruz.

Demek ki $AB$'nin $5$'e bolumunden kalan ile $2.2$'nin $5$'e bolumunden kalan ayni: $4$.

Ekleme: Tabii ki $A$ ve $B$ su haliyle bir sayi degiller. Buradaki noktalarin bir yerden sonra bitmesi lazim. Sonsuza kadar devam edemezler.

Comments

Harflerin rakamların havada uçuştuğu şeyi anladım :) çok teşekkür ederim gerçekten anladım :)

---

Özgür; $k$  pozitif bir tamsayı olmak üzere $\displaystyle\sum_{n=0}^{k}n!$  toplamı belirli mi?

---

Handan; Ben bilmiyorum maalesef. Daha once bir yerde gormuslugum var sanki, ama nerede olabilir hatirlamiyorum. 

Kucuk bir google aramasi baya karmasik bir yapisi oldugunu soyluyor ve sanirim kompleks analiz dersinde gormusum ben bunu: http://math.stackexchange.com/questions/227551/sum-k-1-2-3-cdots-n-is-there-a-generic-formula-for-this

Bir de sanki sitede bu soru vardi gibi hatirliyordum ama aradim aradim bulamadim.

---

Sağol Özgür, geniş bir zamanda ele alırız. Sadece aklıma gelmişti. 

Answer 2

A'da 6'dan sonrasını B'de 5 den sonrasini hesaplamaya gerek yok kalan zaten sıfır olacak.

$A=1+2+24=27$

$B=7$

$27.7=xMod(5)$ ise $x=4$ gelir.