Bu soruyu cozuyorum. Iyi anlamaya calis ki diger sorularini da cevaplayabilesin.
ilk olarak birim eleman $e$ su ozellige sahip olmali: (Kumemizdeki) her $a$ icin $a\Delta e=e \Delta a=a$ olmali.
Simdi bu soruda kumedeki her $a,b$ icin $a\Delta b=b \Delta a$ oldugu gozukuyor degil mi? Bu ozellik varsa islem degismeli oluyor.
Bunu bir gozlemleyelim:
$a\Delta b=a+b-2=b+a-2=b\Delta a$ olur. Yani yukaridaki degisme ozelligi saglaniyor.
Simdi birim eleman icin sadece $a \Delta e=a$ olmali degil, ayni zamanda $e \Delta a=a$ da olmak zorunda. Bu onemli.
Fakat ornegimiz degismeli oldugundan $a \Delta e=e \Delta a$ olacagindan sadece her $a$ icin $a \Delta e=a$ verene birim eleman diyebiliriz.
O zaman birim eleman nedir?
Dedigimiz gibi her "ama her" $a$ icin $a \Delta e=a$ olmali. O zaman bunu acalim. $a \Delta e$ demek $a+e-2$ demek. Esitligin saglanmasi demek $$a+e-2=a$$ olmali, yani $e=2$ demek.
Simdi bir elemanin tersi ne demek? $a$ elemanimiz olsun. Bunun tersi $a\Delta b=b \Delta a=e$ esitligini veren $b$ elemanidir.
Simdi yukaridan degismeli oldugunu bildigimizden $a\Delta b=e$ olacak elemani bulmamiz yeterli.
Simdi bu genel, herhangi bir elemanimiz olan $a$ elemaninin tersini bulalim.
Bu islemin birimi $2$ idi. O zaman $a \Delta b=2$ olmali. Bunu yine acalim $$a+b-2=2$$ oldugundan $b=4-a$ olmali. Yani herhangi bir $a$ elemaninin tersi $4-a$ imis.
Simdi sorumuzu cozelim.
1) $x^{-1}$ yani $x$ elemanin tersi $4-x$,
2) $y^{-1}$ yani $y$ elemanin tersi $4-y$
oldugundan $$x^{-1} \Delta y^{-1}=x^{-1}+y^{-1}-2=(4-x)+(4-y)-2=6-(x+y)$$ olur. Soruda bu esitligin $4$ oldugu verilmis ve $x+y$ isteniyor. Bunu bulmak artik kolay.