Olasılık

Question

Bir kutuda 20 tane bilye var. Bilyelerin 6 tanesi kırmızı, 5 tanesi yeşil ve geri kalanları siyah. Kutudan yerine geri koymadan sırayla 10 tane bilye  çekiliyor. Çekilen son bilyenin siyah olduğunu biliyorsak sekizinci sırada çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?

Comments

Gerçekten mükemmel bir soru.Cevabı nedir hocam?

---

Dalga mı geçiyorsun mükemmel diye :). Yani dalga geçiyorsan niye dalga geçiyorsun ya.

---

Hakikaten harika bir soru.Ezberlerimi yedi bitirdi.Yarım saattir düşünüyorum vallahi hocam.

---

E düşün o zaman. Yanıtı başkası yazsın. Eğer benim kafamdaki basit yanıt yazılmazsa ben de yazarım.

---

Yazdım.           

Answer 1

Kırmızı bilye çıkması olayını $K$,Yeşil bilye çıkması olayını $Y$ ile ve siyah bilye çıkması olayını $S$ ile gösterelim. İstenen durum:$ xxxxxxxYxS$ şeklindeki bir dizilişin olasılığıdır. $8$ tane olan $x$ yerinde tek renk olarak sadece $8S$ olabilir. $6K,4Y,8S$ bilyeden 

$x$'lerin yerine iki renk olarak :$(6K,2Y),(5K,3Y),...,(6K,2S),(5K,3S),...,(5Y,3S),...,(2Y,6S)$ olabilir.

Buna benzer olarak $8x$'in yerinde üç renk olarak; $(6K,1Y,1S),(5K,1Y,2S),(5K,2Y,1S),...(1K,5Y,3S)$ farklı durum olacaktır. Bu durumların sayısı $28$ dir.Tekrarlı permütasyon yolu ile bütün bu durumların sayısal sonucu (çok uzun ve sıkıcı bir çok işlemden sonra):$ 5805$ olarak bulunur. (işlem hatası olasıdır.)

Yine tüm hallerin de :$xxxxxxxxxS$ şeklindeki bütün durumlar,yine iki renk olarak $(8S,1Y),(7S,2Y),...(3Y,6K)$  $14$ farklı ve üç renk olarak$(7S,1Y,1K),(6S,1Y,2K),...,(2S,5Y,2K)$ olarak  $20$ farklı durum söz konusudur. Bunların sayısal değerleri toplamı da $17030$ dır.  (işlem hatası olasıdır.) İstenen olasılık:$ \frac{5805}{17030}=0,34...$ olmalı diye düşünüyorum. 

Bu çözüm son derece uzun ve sıkıcı.Ben bile beğenmedim. Ama soru sahibi sayın hocamızın daha güzel ve kısa çözümünü bekliyorum.

Y

Comments

Elinize sağlık hocam. Ben de benim çözümümü ekledim.

Answer 2

Hadi bunlara bilye değil de iskambil kartı diyelim ve kartları teker teker çekmeye başlayalım, tabii sorudaki gibi rastgele.

İlk gözlem: Bu kartları sırayla çekmek ve geri yerine koymamak demek aslında kartları sıraya dizmeye başlamak demek.

İlk gözlem bir yerde bizi beklesin. Şimdi kısa bir süre başka bir soru düşünelim. Diyelim ki elimizde yukarıdaki kartlardan oluşan bir deste var, rastgele dizilmiş. Kartlar üstüste duruyorlar. Birinci kartın kırmızı olma olasılığı ne? Her kartın kırmızı olma olasılığı aynı, o halde 6/20. Yani ikinci kartın kırmızı olma olasılığı da 6/20. Bu da ikinci gözlemimiz olsun ve sorunun çözümüne geçelim.

Kartları çekmeye başladık ve 10 tane çektik bitirdik. Geride kalan kartları da çekelim, sonuçta bu ilk kartlarla ilgili bir şeyi değiştirmez. Kartların hepsini çektik bitirdik. Yani 20lik desteyi bir sıraya dizdik (ilk gözlem). Şimdi ikinci gözlemi kullanalım. Bizim destemizdeki sekizinci kartın yeşil olma olasılığı destedeki herhangi bir kartın yeşil olma olasılığıyla aynı, yani 5/20. Amma velakin, gelgelelim ki gelgelelim... Destedeki kartlardan onuncusu gözüküyor, siyah bir kart. Yani elimizde 19 kartla dizilmiş bir deste var ve sekizinci kartın yeşil olması olasılığı nedir? Herhangi bir kartın yeşil olma olasılığıyla aynı.

6 kırmızı, 5 yeşil ve 8 (9-1) tane siyah var. Yani yanıtımız $$5/19$$

Comments

asdasd, cok erken cevabini paylasmissin. Yine de tesekkurler.

---

Çözüm gelince paylaştım :).. Sen de bunu mu yazacaktın?

---

Cevaplari gorunce pek dusnmeden okudum isin acikcasi, bir de iddiali sekilde basit deyince :)

---

Hocam kafama takılan bir nokta var,izah edebilirsem.Şimdi diyelim ki biz ilk kartı çektik ve yeşil çıktı o zaman 8'inci kartın olasılığı değişmez mi?

---

İlk kartın ne çekildiğini biliyorsan olasılık değişir tabi.

---

La oğlum daha ne kadar basit olsun. Açıklamasını uzun tuttum klasik olarak.

---

Basit değil demedim ki ;) iddialı basit lafını görünce hiç kasmayayım dedim, geldim, gördüm, baktım, basitmiş.