Biraz daha başa dönelim ve soruda geçen kavramların tanımlarını da yazalım.
Tanım: $A$ herhangi bir küme $($boş $(\emptyset)$ da olabilir$)$ ve $\beta\subseteq A^2$ olmak üzere
$$\Delta, \,\ A\text{'da ikili işlem}:\Leftrightarrow \Delta\in A^{\beta}$$
$$\Delta, \,\ A \text{'da kapalı ikili işlem}:\Leftrightarrow \Delta\in A^{A^2}$$
Not: Tanımda geçen gösterimler aşağıdaki gibi ele alınmaktadır.
$$A^{\beta}:=\{\Delta|\Delta:\beta\to A \text{ fonksiyon}\}$$
$$A^{A^2}:=\{\Delta|\Delta:A^2\to A \text{ fonksiyon}\}$$
Not: Birim eleman, ters eleman ve yutan eleman kavramları sadece kapalı işlemlerde söz konusu edilir. Tıpkı yansıma, simetri, ters simetri, geçişme kavramlarının sadece bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bağıntılarda söz konusu edildiği gibi. Bilindiği üzere $A\text{'}$dan $B\text{'}$ye bağıntılarda $(A\times B$ kümesinin her altkümesine $A\text{'}$dan $B\text{'}$ye bağıntı diyoruz$)$ bu saydığım özellikler söz konusu EDİLMEZ.
Tanım: $A$ herhangi bir küme, $\Delta:A^2\to A$ fonksiyon $($yani $\Delta,$ $A\text{'}$kapalı ikili işlem$);$ $e,$ $\Delta$ işleminin birim elemanı ve $x\in A$ olmak üzere eğer
$$(\exists y\in A)(x\Delta y=y\Delta x=e)$$ önermesi doğru ise $y$ elemanına $x$ elemanının $\Delta$ işlemine göre tersi denir ve $y=x^{-1}$ ile gösterilir. Şayet
$$(\forall x\in A)(\exists y\in A)(x\Delta y=y\Delta x=e)$$ önermesi doğru ise $\Delta$ işlemine ters eleman özellikli işlem denir.
$------------------------------------$
Bu bilgiler ışığı altında $1.$ sorunun cevabını verelim. $x\in A$ olmak üzere
$$(\exists y\in A)(x\Delta y=y\Delta x=e)$$ önermesi doğru değilse yani
$$x\Delta y=y\Delta x=e$$ olacak şekilde $A$ kümesinde bir $y$ elemanı yoksa bu durumda $x$ elemanının $\Delta$ işlemine göre tersi yoktur denir.
$------------------------------------$
Tanım: $A$ herhangi bir küme, $\Delta:A^2\to A$ fonksiyon $($yani $\Delta,$ $A\text{'}$kapalı ikili işlem$)$ ve $x\in A$ olmak üzere eğer
$$(\forall y\in A)(x\Delta y=y\Delta x=x)$$ önermesi doğru ise $x$ elemanına $\Delta$ işleminin yutan elemanı denir.
$------------------------------------$
Bu tanım da $2.$ sorunun cevabı oluyor artık.
$------------------------------------$
Tanımlardan bu iki kavramın farklı olduğunu görmek zor olmasa gerek. Bu durumda da $3.$ sorunun cevabını şöyle verebiliriz:
Tamsayılarda çarpma işlemini $($yani $\,\ \cdot:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ fonksiyonunu$)$ ele alalım. Birimli bir işlemdir ve birim eleman $1$ tamsayısıdır. $2$ tamsayısının tersi yoktur (Neden?) fakat yutan eleman değildir (Neden?). Nedenlerini okuyucular düşünsün.