Question

$A=\{a,b,c,d\}$ kümesinde tanımlı $\beta =\left\{ \left( a,a\right) ,\left( b,b\right) ,\left( c,c\right) \right\}$ bağıntısı geçişken midir?

Comments

(d,d) de olsa geçişken oluyor yanlış değilsem

---

geçişken diyor yanlış diyorsunuz maalesef. 

Fikri olan hocam var mı ? 

---

Bu tip sorulara en güzel cevabı sanıyorum @murad.ozkoc hocam verecektir.

Answer 1

Evet geçişkendir. 

Bir bağıntıda $(a,b)$ ve $(b,c)$ elemanları için $a \sim b$ ve $b\sim c$ olduğundan $a\sim c$ ilişkisini arıyorduk.

Şimdi ilk elemanda $b$ yerine $a$ koyarsak ve elimizdeki bağıntıyı incelersek, $(a,a)$ ve $(a,a)$ elemanları için $a \sim a$ ve  $a\sim a$ olduğundan yine $a \sim a$ ilişkisi arıyoruz ve bunu $(a,a)$ elemanında buluyoruz.

Answer 2

Cevap degil de geyige baglama gibi oldu, kusura bakilmasin.


$(x,x)$'e ekleyebilecegimiz bu kumede sadece $(x,x)$ olacagindan elde edebilecegimiz $(x,x)$. Zaten ayni olmasi yerinde durmak gibi sadece duruyorsun, iki defa durunca da uc defa durunca da. $(a,b)$ ve $(b,a)$ varken istenen $a$'dan $b$'ye $b$'den de $a$'ya ziplama direk $a$ noktasinda yerinde dur. Eger $(a,b)$ ve $(b,c)$ varsa da, bu suna benzer "kulagini bole tutacagina boyle tutmak" yani elini ($a$'yi) kafanin arkasindan ($b$'den) dolandirarak kulagini ($c$'yi) tutmak yerine, direkt elinle kulagini tut, bu da  $(a,c)$ iste. $(a,b)$ ve $(c,d)$ icin isinlanma gerekir, o da bizde yok. Ayaklarimiz yere basmali. 


Aslinda bu gecisme ozelligi bizim atasozlerimizin temeli. Ayrica geciskenlik olmazsa taksimetre cok yazar.

Answer 3

$A$ herhangi bir küme ve $\beta \subseteq A^2$ (yani $\beta , A$'da bağıntı) olmak üzere $\beta$ bağıntısının geçişken olması  $$((x,y)\in\beta \wedge (y,z)\in\beta) \Rightarrow (x,z)\in\beta$$

önermesinin doğru olması anlamına geldiğini biliyoruz yani

$$\beta \text{ geçişken}:\Leftrightarrow [((x,y)\in\beta \wedge (y,z)\in\beta) \Rightarrow (x,z)\in\beta]$$

$A=\{a,b,c,d\}$ olmak üzere $$\beta =\{(a,a),(b,b),(c,c)\}$$ bağıntısını ele alalım ve olası bütün durumları inceleyelim. Ben sadece üç durumu aşağıda irdeleyeceğim.

I. Durum: $x=y=z$ durumu.

$$[(\underset{1}{\underbrace{(x,y)\in\beta}} \wedge \underset{1}{\underbrace{(y,z)\in\beta}}) \Rightarrow \underset{1}{\underbrace{(x,z)\in\beta}}]\equiv [(1\wedge 1)\Rightarrow 1]\equiv 1$$ yani önerme doğru.

II. Durum: $x=y\neq z$ durumu.

$$[(\underset{1}{\underbrace{(x,y)\in\beta}} \wedge \underset{0}{\underbrace{(y,z)\in\beta}}) \Rightarrow \underset{0}{\underbrace{(x,z)\in\beta}}]\equiv [(1\wedge 0)\Rightarrow 0]\equiv 1$$ yani önerme doğru.

III. Durum: $x\neq y\neq z$ durumu.

$$[(\underset{0}{\underbrace{(x,y)\in\beta}} \wedge \underset{0}{\underbrace{(y,z)\in\beta}}) \Rightarrow \underset{0}{\underbrace{(x,z)\in\beta}}]\equiv [(0\wedge 0)\Rightarrow 0]\equiv 1$$ yani önerme doğru.

Yapılacak olan tüm bu mülahazalar sonucunda $\beta$ bağıntısının geçişken olduğu anlaşılacaktır.

Comments

$x$, $y$ ve $z$'nin birbirlerine nasıl eşit olabileceğini anlamadım. Başta $A$ kümesi içinde farklı elemanlar olarak tanımlanmadılar mı? 

---

Haklısınız. Cevabı yeniden düzenledim.

---

Bu halini de anlayamadım. $(x,y)$, $\beta$ 'nın elemanı değil.