$a, b, c \in \mathbb{N}$ olsun.
\begin{equation}
c = 3\cdot a + 4 \cdot b
\end{equation}
Olarak tanımlanan her $c \geq 6$ için $a$ ve $b$ sayıları vardır.
Teoremi bu hale getirelim.
~
Önkabüller:
$0 \in \mathbb{N}$
Kanıt.İlk iş olarak 3'ün katlarını inşa edelim.
\begin{equation}
3\mathbb{N} = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, \ldots \}
\end{equation}
Başlangıç değerimize $n$ diyelim ve $n=6$ olsun.
$n \in 3\mathbb{N}$ olduğu açıktır.
$c=n$ için teoremimizi şöyle uygulayabiliriz.
\begin{equation}
n = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 0
\end{equation}
$n+1$ ve $n+2$ sayılarının var olduğunu göstermeyi başarırsak ($n+3 \in 3\mathbb{N}$) tüm $\geq 6$ doğal sayıları için teoremimiz kanıtlanmış olur.
$4-3=1$ ve $4 \cdot 2 - 3 \cdot 2 = 2$ olduğu açıktır. Uygulayalım.
\begin{equation}
n + 1 = 3 \cdot (2-1) + 4 \cdot (0+1)
\end{equation}
\begin{equation}
n + 2 = 3\cdot(2-2) + 4\cdot (0+2)
\end{equation}
Kanıtımız burada bitmiştir.
Özet olarak, $3\mathbb{N}$ inşa ederek başladık. $3\mathbb{N}$ kümesinin ardışık elemanlarının arasında kalan aralığı, teoremimiz ile "doldurabileceğimizi" gösterdik.
Sonuç olarak;
\begin{equation}
\{3\cdot a + 4 \cdot b : a, b \in \mathbb{N}\} = \mathbb{N}^{\geq 6}
\end{equation}