Bir fonksiyonun sürekliliği (metrik uzaylar üstüne)

Question

Öncelikle sitedeki ilk sorum hatalarım varsa şimdiden özür dilerim .

Bilgi :

$(X,d)$ ve $(Y,d)$ birer metrik uzay , ve

$ \pi_1 : X \times Y \rightarrow X,\ \pi_1(x,y) = x $     ve    $\pi _2 : X \times Y \rightarrow Y,\  \pi_2(x,y) = y $

süreklidirler .

Soru ($I = [0,1]$):

 $f: I \rightarrow X \times Y$ süreklidir ancak ve ancak(iff) $\pi_1\circ f $  ve $\pi_2 \circ f$ süreklidir 

İspatı ? 

1. 1. 
      

Comments

Burada $I$ uzayının hiç bir önemi yok, her metrik (veya daha genel olarak topolojik ) uzay için bu iddia doğrudur. $X\times Y$ deki (hangisini kullanacaksan) metriğin (veya çarpım  topolojisinin) nasıl tanımlandığına bakarak $\Leftarrow$ yönünü gösterebilmelisin. Diğer ($\Rightarrow$)yönü ise neredeyse "aşikar"

---

$\pi_1$ ve $\pi_2$ fonksiyonlarının açık fonksiyonlar olduğunu göstererek işe başlayabilirsin.

Answer 1

$\Rightarrow:$ $f:I\rightarrow X\times Y$ sürekli olsun.

$f:I\rightarrow X\times Y$ sürekli ve $\pi_1:X\times Y \rightarrow X$ sürekli ise $\pi_1\circ f:I\rightarrow X$ süreklidir. Diğeri de benzer şekilde yapılır.

$\Leftarrow:$ Çarpım uzayının bir bazını al. Baz elemanlarının $f$ altındaki ters görüntülerinin açık olduğunu göstermeye çalış.

$\mathcal{B}=\{U\times V\mid U\in \tau_1, V\in \tau_2\}$ ailesi, $X\times Y$ kümesi üzerindeki çarpım topolojisi için bir bazdır.

$B\in \mathcal{B}\Rightarrow (\exists U\in \tau_1)(\exists V\in \tau_2)(B=U\times V)$

$\hspace {1,3cm}  \Rightarrow f^{-1}[B]=f^{-1}[U\times V]=\{z\mid f(z)\in U\times V\}$

$\hspace {3,3cm}   =\{z\mid ((\pi_1 \circ f)(z),(\pi_2 \circ f)(z))\in U\times V\}$

$\hspace {3,3cm}   =\{z\mid (\pi_1 \circ f)(z)\in U, (\pi_2 \circ f)(z))\in V\}$ 

$\hspace {3,3cm}   =\{z\mid z\in (\pi_1 \circ f)^{-1}[U], z\in  (\pi_2 \circ f)^{-1}[V]\}$

$\hspace {3,3cm}   =\{z\mid z\in (f^{-1} \circ \pi_1^{-1})[U], z\in (f^{-1} \circ \pi_2^{-1})[V]\}$

$\hspace {3,3cm}   =\{z\mid z\in f^{-1} [\pi_1^{-1}[U]], z\in f^{-1} [\pi_2^{-1}[V]]\}$

$\hspace {3,3cm}   =\{z \mid z\in f^{-1}[\pi_1^{-1}[U]]\cap f^{-1}[\pi_2^{-1}[V]]\}$

$\hspace {3,3cm}   =f^{-1}[\pi_1^{-1}[U]]\cap f^{-1}[\pi_2^{-1}[V]]$

$(U\in \tau_1)(\pi_1:X \times Y\rightarrow X\,\ \text{sürekli}) \Rightarrow \pi_1^{-1}[U]\in \tau_1 \star \tau_2 \,\ ...(1)$

$(V\in \tau_2)(\pi_2:X \times Y\rightarrow Y\,\ \text{sürekli}) \Rightarrow \pi_2^{-1}[V]\in \tau_1 \star \tau_2 \,\ ...(2)$

$(f:I\rightarrow X\times Y \,\ \text{sürekli})(\pi_1^{-1}[U]\in \tau_1 \star \tau_2)\Rightarrow f^{-1}[\pi_1^{-1}[U]]\in \tau_3 \,\ ...(3)$

$(f:I\rightarrow X\times Y \,\ \text{sürekli})(\pi_2^{-1}[V]\in \tau_1 \star \tau_2)\Rightarrow f^{-1}[\pi_2^{-1}[V]]\in \tau_3 \,\ ...(4)$

$(3),(4)\Rightarrow f^{-1}[B]\in \tau_3 $ olur. O halde $f$ süreklidir.