Saatimiz uzerinde herhangi bir siralama alalim: $a_1, \ldots, a_{12}$
Ve su uclu toplamlara bakalim (Amacimiz bu uclu toplamlardan en az birisinin 19'dan buyuk oldugunu gostermek):
$$a_1 + a_2 + a_3 \\ a_2 + a_3 + a_4 \\ a_3 + a_4 + a_5 \\ \vdots \\ a_{10}+a_{11}+a_{12}\\ a_{11} + a_{12} + a_1 \\ a_{12}+ a_1 + a_2$$
Bu listede her $a_j$ tam olarak 3 defa yer aliyor. Oyleyse, bu uclu toplamlarin hepsini alt alta yazip toplarsam,
$$3(a_1 + a_2 + \ldots + a_{12})$$
sayisini elde ederim. Ama $a_1 , \ldots, a_{12}$ sayilari yalnizca $1, 2, \ldots, 12$'nin degisik bir siralanisi. Dogal sayilarda toplama islemi degismeli oldugu icin,
$$3(a_1 + a_2 + \ldots + a_{12}) = 3( 1 + 2 + \ldots + 12) = 3\times \frac{12 \times 13}{2} = 234$$
olmasi gerektigini goruruz. Yani, saatteki sayilarin yerini nasil degistirirsek degistirelim, sayilari topladigimizda ve 3 ile carptigimizda sonuc 234'tur.
Bu uclu toplamlarin hepsi 20'den kucuk olsaydi (yani hepsi en fazla 19 olsaydi),
$$234 = 3(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \leq 18 + 18 + \ldots 18 = 12 \times 19 = 228$$
olmak zorunda kalacakti. Ama yanilmiyorsam 234, 228'den kucuk(duzeltme: tabii ki 234, 228'den buyuk). Demek ki bu uclu toplamlardan en azindan bir tanesi 19'dan buyuk olmak zorunda.