Question

$4$'e bolundugunde $1$ kalanini veren sonsuz sayida asal oldugunu ispatlayin.

Answer 1

Sonlu sayida olsun, $p_1,p_2, \cdots, p_n$. Simdi $(2p_1p_2\cdots p_n)^2+1$ hepsinden buyuk ve hic bir asala bolunmuyor o halde asal olmak durumunda, bu da celiski getirir..

not: eğer $p\equiv 3 \mod 4$ ise $x^2\equiv -1\mod p$ olamaz.

genisletme: ilk olarak $(2p_1p_2\cdots p_n)^2+1$ sayisi tek bir sayi ve de $4$'e bolundugunde $1$ kalanini veriyor. Simdi bu sayiyi bolen asallar $4k+3$ formunda ya da $4k+1$ formunda olabilir (yani tek sayilar, tek asallar). Bariz olani bunu "kabulumuzden" $4k+1$ seklinde hic bir bolen asal yok. Simdi $4k+3$ seklinde bir asalin bu sayiyi boldugunu kabul edelim, bu asal $p$ olsun. O zaman $(2p_1p_2\cdots p_n)^2 \equiv -1\mod p$ olmali, yani $-1$ modulo $p$'de bir kare olmali "quadratic residue" (kareden kalan) teoreminden bu olamaz, burdan da celiski gelir.

Comments

Valla hocam sizin için canavar gibi diyorlar :-) , siz yurt dışındasınız sanırım hangi üniversitede görevlisiniz , matkafası skorunuz uçuyor :-))))

---

canavar iyi bi sey herhalde :) su an Dublin'deyim, adini yazamiyorum universitenin, gecen sunumda yanlis yazmisim zaten :) UCD kisaltmasi.. University College Dublin, internetten baktim simdi.. skor da ortaogretim sorularindan hep, bir de boyle basit sorularla, kendin sor kendin coz yapinca ucuyor dedigin gibi.. mesela senin cesaret edip cozmeye calistigin soruya ben cerat bile etmemistim.. bir adet olsun, tam olsun :)

---

Burda bir sorun var, o sayının $4n+1$ şeklindeki asallara bölünmediğini söyleyebiliriz ama başka  asallara bölünebilir (zaten çifttir ve 2 den büyüktür), buradan bir çelişki nasıl çıkıyor tam anlamadım.

---

Evet haklisin..   

---

Yarn detaylandırayım bunu..

---

Belki bu sayının bölenleri 4k+3 biçimdedir. Bu tarz iki sayının çarpımı 4k+1 formatındadır.

---

Bilgisayar yok da şimdi, yarın güzelcene ekleyecem $x^2=-1(p)$ olamaz diye..

---

$-1$ kare olmasa da sorun var. Birbirinden farklı iki tane $4k+3$ formatında asalın çarpımı neden olamaz bu sayı?

---

O zaman $p$ diyelim bunlardan birine, $p$ bu sayıyı bölecek, o zaman -1'in kare olması gerekecek mod $p$'de, ama değil.

---

Bu  ispata, başka açıdan bakınca,  bu çarpımın, bu tip yeni bir asal üretmesi gerekiyor ama yapmıyor. Örnekler:

$5+1=6=2\times 3$

$5\times13+1=66=2\times3\times11$

$ 5\times13\times17+1=2\times7\times79$

---

ama hocam diğerlerinin çarpımını içerebilir, o nedenle çarpımları+1 asal olamıyor. En azından 2ye bölünüyor. Yani yeni bir asal üretemediğimizden çelişki de gelmiyor.

Formu da 4k+2 oluyormuş bu arada..

---

Çarpımın bir fazlası asal olmalı demedim, çarpımın bir fazlasının asal çarpanlarından birinin $4n+1$ şeklinde olduğunu gösteremezsen çelişki çıkmaz diyorum ve de örneklerde öyle olmuyor.

---

hocam genisletme yaptim, kafamdakini cok aktaramadim galiba, umarim bu sefer olmustur.

---

Evet, böyle olmuş. Doğan hocam, sonlu sayıda asal olması şartı çarpımın asal olmasını sağlıyor. Realitede sonsuz sayıda asal olduğu için yeni asal üretmesi gerekmiyor.

---

Şimdi tam oldu. Daha önceki ispatlarda,  sonlu sayıda $4n+1$ tipinde asal sayı   varsayıldığında,  (bunlar $p_1,p_2,\ldots,p_k$ olmak üzere)  $p_1p_2\cdots p_k+1$ sayısının tüm tek asal bölenlerinin $4n+3$  şeklinde olabileceği olasılığı gözden kaçıyor, $4n+1$ tipinde bir asala bölüneceği (gerekçesiz) varsayılıyordu. Benim verdiğim örneklerde tüm tek bölenleri $4n+3$ şeklinde oluyor. 

 $4n+1$ şeklinde sonlu sayıda asal olması $p_1p_2\cdots p_k+1$ (zaten çifttir ve 2 den büyüktür) sayısını da $(2p_1p_2\cdots p_k)^2+1$ sayısını da ( $p_1,p_2,\ldots,p_k$ den başka asallar var olduğu için)  asal yapmaya yeterli değildir. Ama Sercan ın yeni  çözümünde (genişletme kısmında)  bu sayının asal olmasına gerek yok.

---

$4k+1$ biçiminde  deki asalları sonlu deyip listelersek , sonrasında bu listedeki sayıları çarpıp sonra bu carpımı şu şekilde ifade edelim 

         $P=4(p_1p_2p_3.....p_n)-3$ ifadesinde  $4k+1$ formunda olup liste dışı sayıdır ,şimdi 

2 durum var ; 1) bu liste dışı sayı asalsa sonlu kabulümüz yanlış yani çelişki  2) ancak bu sayı bileşik bir sayı olsa   mutlaka listedekilerden büyük ve listede ki asalların birisi ile bölünecek  yani   $p_i \mid 4(p_1p_2p_3...p_n)-3 $  bu da mümkün değil yani liste dışındaki bir asal sayı bu $P$ sayısını bölecek , ancak bölünmediği açıktır , liste dışı asal sayının varlığı mevcut bu durumda sonlu olamaz $4k+1$ formatında sonsuz asal vardır

---

$(4a+3)(4b+3)=4c+1$ oldugundan bu asallara da bolunmedigini gostermemiz gerekir.

---

(RAMANUJAN1729) $4k+3$ şeklindeki asalların çarpımının $4k+1$ tipinde olabileceğini gözden kaçırıyorsunuz. $4\cdot5\cdot13\cdot17-3=7\cdot 631$ (Wolfram Alpha ya göre) 7 ve 631 $4n+3$ şeklinde.

---

doğru hocam :-)

---

sizin çözümden , olay net zaten genişletme ile beraber çok iyi gözden kaçırmışım 

---

Acaba yaptığım yaklaşıma $4p+3$ biçiminde ki asalları nasıl dahil edeceğim ve ispat eksiksiz tamamlanacak 

---

bu sekil icin zor, o nedenle $x^2+1$ formuna getirmek isi kolaylastiriyor, baska cozumu var mi aacaa, arastirmadaim hic..

---

Var, $L$-fonksiyonlarıyla.

---

sen bugun bi link paylasmissin ya hocam, cumartesi maas falan, ayni tepkiyi verdim.. ahahahadi be..

---

tamsayılar üzerine topoloji tanımlanarak yapılabilir mi  ? acaba açık kümelerden $a\mathbf{Z}+b$ üzerinde topoloji tanımlayıp açıkların kesişimi ve birleşimi kullanılarak , $\big\{an+b\big\}$ biçiminde acık kümelerin kesşimleri ile elde edilebilen sonlu kabul ettiğimiz asallar üzerine çelişki bulabilmek mümkün olur mu?