SERİLER

Question

$\sum _{n=1}^{\infty }\sin ^{4}\left( \dfrac {1} {n}\right) \cdot \sin ^{4}\left( n\right) $ serisi yakınsak mıdır? Bir de böyle bir çözüm doğru mudur ? 

Comments

Nasıl bir çözüm doğru mudur?

---

fotograf atıyorum siliyorlar sürekli 

---

fotograf atıyorum siliyorlar sanırım.

---

böyle bir çözümden bahsettim. bikaç hatası var çözümün. 

---

Soru sormak icin girdiginiz sayfanin sag ust kosesinde soyle bir sey yaziyor olmali: 

Matematik Kafası'na hoşgeldiniz! Matematikle ilgili her konuda sorularınızı sorabilirsiniz. Öncelikle hakkimizda kısmını mutlaka okuyun. (http://matkafasi.com/faq)

Orada da soyle bir sey yaziyor olmali:

Sorduğunuz sorular çok çok istisnai durumlar dışında "sorunun resmi ektedir" şeklinde olmasın. Matematik Kafasının kullandığı altyapının en önemli teknik özelliği her türlü matematiksel sembolün ifade edilebildiği LateX işaretleme dilini otomatik olarak derlemesidir. Resimlere kıyasla LateX işaretleme dili ile metin şeklinde ifade edilen sorular çok daha kolay bir şekilde tasnif edilebilir, arama sorguları metinlerde çok daha etkin kullanılabilir. Dolayısıyla yıllar sonra da sorulan soruların verilen cevapların içinde arama yapılabilir, daha evvel konuşulmuş konular üzerinde tekrar tekrar emek harcamanın önüne geçilir.

---

kagittaki mantikla $(1 -\frac1n) <1$'i incelersek, burdan gelen toplam da yakinsak olmali ama dizinin limiti $1$'e gittiginden de serinin iraksak olmasi lazim. Bunu da dusunmek lazim..

---

genel terimin limiti sıfır gelmez mi ?

---

hangisinin? sorunun ornegide 0 gelir, benim ornegimde 1..

---

evet sizinki 1 gelir. soru için dedim ben 

---

sifir geldiginde seri iraksak ya da yakinsak olabilir.

---

Bu çözumun biraz filan değil bayaği  hatalari var. Bu mantikla her seri yakinsak olur.

---

Yanlış bir sonuçla her şey ispatlanabilir zaten.

---

peki Safak hocam, bunu ispatlayabilir misin :)

Answer 1

$0\leq\sin^4\frac 1n \sin^4n\leq (\frac 1n)^4 \sin^4n\leq (\frac 1n)^4 .1=\frac1{n^4}$. Dolayısıyla,$$0\leq a_n\leq\frac1{n^4}$$ olur. $\sum \frac1{n^4}$ yakınsak olduğu için $\sum a_n$ de yakınsaktır.

Sizin çözümünüz şu yüzden yanlış. Limitde şöyle bir teorem vardır:

$$x_n\leq y_n\Rightarrow \lim x_n\leq \lim y_n$$

ama şu yoktur:

$$x_n<y_n\Rightarrow \lim x_n<\lim y_n$$

(Örn: $\frac 1n<0$, but $\lim\frac 1n=\lim 0$).

Doğrusu

$$x_n<y_n\Rightarrow \lim x_n\leq\lim y_n$$

şeklindedir.

Yani $a_i<b_i$ olması $\sum a_i<\sum b_i$' yi gerektirmez ama $\sum a_i\leq\sum b_i$ olmasını gerektirir (Seri dediğimiz şey de bir limittir.).

Comments

Verilen aralikta $\sin x < x$ oldugundan $\sin \sin x <x$ olur.

$\sin^4 x < x^4$ esitsizligini kullandiniz galiba, $0 < x \leq 1$ icin. Bunun nasil elde edildigini merak ettim?

---

$\sin x < x$ olduğu için $\sin (\frac 1n) <\frac 1n$ olur. Dolayısıyla, $(\sin (\frac 1n))^4 <(\frac 1n))^4$  olur.

Not: Notasyonun  $\sin^4 (\frac 1n)=(\sin (\frac 1n))^4 $ şeklinde olduğunu düşündüm. Yoksa $\sin^4 (\frac 1n)=\sin\sin\sin\sin (\frac 1n)$şeklinde mi

---

Ben de onu dusunerekten cozdugunuzu dusunmustum hocam. Soruda aslinda ne sorulmak istemistim bilmiyorum ama: $\sin^4 x=\sin\sin\sin\sin x$ olmali.

---

Aslında doğru notasyon o görülebilir ve bence de öyle.

Yalnız şöyle bir şey var $\sin^2 x=(\sin x)^2$ aslında notasyonun kötü kullanılması (İng. Abuse of notation). Ama bu yaygın, hatta dünya da standart hale gelmiş durumda. (Hiç araştırmadım ama sanıyorum ki insanlık bu notasyonu kabul edip $\arcsin x=\sin^{-1} x$ de karışıklık sorunu yaşamamak için $\csc x$ ve $\sec x$ notasyonlarına gitmiş. İlginç bir araştırma konusu olabilir aslında bu. ).

Aynı $\int \frac{dx}x$ gibi ki bunun da doğrusu $\int \frac{1}x dx$ şeklinde

---

çok teşekkür ederim çözümler için.