Doğan hocam, şöyle bir ekleme yaparsak çözüm düzelir sanıyorum. Bizim problemimizde $n>1$ iken $F_n$ artan bir fonksiyon oluşturuyor. Bu durumda sonsuz tane noktada $P(n)$ ile çakışıyor. Sabit olmayan bir $P(n)$ polinomudur bu. Öte taraftan $F_n$ bir polinom fonksiyonu olarak ifade edilemez. İfade ediliyor olduğunu kabul ederek bir çelişki elde etmeyi denedim. Bir de, üstel olarak artan bir ifadenin polinom olamayacağı barizdir diye düşündüm. Polinom gibi artsaydı $F_n$ nin karşılık geldiği artan polinomun türevi bir mertebeden sonra sıfır olurdu. Fakat üstel fonksiyonda böyle bir durum söz konusu olamaz. Türev almaya devam etsek bile hep o üstel fonksiyon var olur. Temel fikrim buydu.
Bir başka çözüm de şöyle olabilir. Yazarken aklıma geldi. Polinom biçiminde kurala sahip dizilerde ardışık farklar dizileri bir süre sonra sabit olur. Örneğin $n^2$ dizisinin terimleri 1, 4, 9, 16, ... iken ilk ardışık farklar 3, 5, 7, ... ve bunların ardışık farkları 2, 2, 2, ... dir. İkinci ardışık farkın sabit oluşu bu dizinin ikinci dereceden polinom kuralına sahip olduğunu gösterir. Fibonacci dizisinin bu ardışık farklarının asla sabit gelmeyeceğini göstermek gerekiyor. Bu da Fibonacci dizisinin $F_{n+2} - F_{n+1} = F_n$ yineleme bağıntısı aracılığı ile gösterilebilir diye umuyorum. (Bunu denemedim)