16 tane ardasik sayi

Question

ispatlayiniz: 16 tane ardasik sayidan biri digerlerine aralarinda asaldir.

Comments

Hocam bakiyorum adrenalini arttirmişsiniz  yani bu sefer ardışık sayı sayısı artmış :-))

---

$k > 16$ icin her zaman ters ornek bulunuyor, bu maksimumu bu arada :)

---

yani öyle bir dizi var ki  en az 1 tek sayı , diğer kalanların  hepsi ile aralarında asal olamiyor , doğru mu anladım :-)

---

$n > 16$ icin oyle bir $a_1,\cdots,a_n$  ardasik sayilari bulabiliriz ki her $a_i$ icin bir $a_j$ var ki $(a_i,a_j) \neq 1$ olur.

Bir de yorum ile cevap butonlarini kac kere sasirdin su ana kadar sayamadim :)

---

Harbiden sayilamaz  sonsuzlukta :-))   şaşırmışım -:)

---

Duzenleden yoruma cevirebiliyorsun en azindan ;)

---

Bir örnek dizi yazarmısınız :-)

---

birisi ispatlamis, ornek dizi yok su an bende de, dusunmek lazim :)

---

İspat sitede mevcut mu ?

---

degil, uzun olabilir ispati, bilemiyorum .s yani hepsi icin bir adet olabilecegi ispatlamak kolay olmasa gerek.

---

17  tane ardışık için bir ispat yaptım , 2 sayı acikta kaldı , sanırım bu iki tane sayı aralarında asal değil 

---

iste olup olmadigi muamma, onu gidermek lazim.

---

Problem sağlam bir problem , ucu iyi yerlere dokunabilir :-) 

Answer 1

$n, n+1 , n+2 , n+3, n+4, ..., n+15$ Ardışık $16$  tamsayı olsun. 

                     $(n+r, n+s)=(n+r, |r-s|)$ , 

                            $|r-s|<16$

Olduğundan bu sayilardan en az birinin $16$ dan küçük hiç bir asal sayi ile bölünemediğini  göstermek yeter. 

Sözü edilen sayilar arasında 

$2$ ile  bolunenlerin sayısı  $8$ ,

$3$ ile bölünen ve tek  olanlarin sayisi  en çok $2$ , 

$5$ ile  bölünen ve  tek olanların sayisi en çok $2$  , 

$7$  ile  bölünen ve tek olanların  sayısı en çok $1$ 

$11$ ile bölünen  ve tek olanlarin  sayısı en çok $1$ , 

$13$ ile bölünen  ve tek olanların sayısı en çok $1$ 

dir. $16$ ardışık sayı içinde tam $8$ tane tek sayı oldugundan  ve bu $8$ tek sayıdan $3$ , $5$, $7$, $11$ veya $13$ ile bolunenlerin  sayısı en çok $2+2+1+1+1=7<8$  Olduğundan , en az biri vardır ki $ 3, 5 , 7 , 11,13$ den hiç biri ile bölünmez . İşte bu tek sayı diğerleri ile aralarında asaldir.

Comments

$17$ ardışık alınca $2$ tane tek sayı arttı :-))) acaba bu artan iki tek sayı aralarında asal olmuyor mu ? yani $17$ için durum bu  sizce hocam  

---

https://projectpen.files.wordpress.com/2009/06/pen-a9-a37-o511.pdf

---

Gönderdiğiniz   link sağlam;-)