$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$ toplaminin $p > 1$ icin yakinsadiginin elementer ispatlari [kapalı]

Question

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$ toplaminin $p > 1$ icin yakinsadiginin elementer ispatlari veriniz?

Yorumluk ek bir soru: Asagidaki ispat dogru mu?

Ilk olarak $$S_k=\sum\limits_{n=1}^{k} \frac1{n^p}$$ olarak tanimlayalim. Bu durmda  $$\begin{eqnarray}S_{2k+1}&=&\sum_{n=1}^{2k+1}\frac{1}{n^p}\\&=&1+\sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{(2i)^p}+\frac{1}{(2i+1)^p}\right)\\&<&1+\sum_{i=1}^k\frac{2}{(2i)^p}\\&=&1+2^{1-p}S_k\\&<&1+2^{1-p}S_{2k+1}\end{eqnarray}$$ olur ve esitsizligi duzenlersek $$S_{2k+1}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ elde ederiz. $S_k < S_{2k+1}$ oldugundan her $k> 1$ tam sayisi icin $$S_{k}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ olur.


Pozitif terimli $\{S_k\}_{k\geq1}$ dizisi artan (bu cikarim basit) ve ustten sinirli oldugundan (bunu da yukarida gosterdik) monoton yakinsaklik teoremi geregi dizimiz yakinsar. Bu nedenle bu dizinin limiti olan $$\lim\limits_{k\to\infty}S_k=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$$ yakinsar.

Comments

http://matkafasi.com/21870/harmonik-imsi-dizi-yakinsaklik aynı soru sanıyorum.

---

Burada elementer olanlari soruluyor. Hafif farkli ama icerikteki cevabi o soruya ekleyeyim. Bu da oradaki cevaptan nuans olarak farkli.