Öncelikle soruda geçen kavramları tekrar hatırlayalım:
Tanım: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere
$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ sürekli}$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall y\in X)(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$
$------------------------------------$
Tanım: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere
$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ düzgün sürekli}$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$ (\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$
$------------------------------------$
Teorem: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere
$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ düzgün sürekli}\Rightarrow f, \,\ (X\text{'de}) \text{ sürekli}.$$
İspat: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olsun.
$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ düzgün sürekli}$$
$$\Rightarrow$$
$$ (\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$
$$\overset{?}{\Rightarrow}$$
$$(\forall y\in X)(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$
$$\Rightarrow$$
$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ sürekli}.$$
$------------------------------------$
$$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $(\mathbb{R}\text{'de})$ sürekli olmasına karşın aynı $f$ fonksiyonu $(\mathbb{R}\text{'de})$ düzgün sürekli değildir. Şöyle ki:
$\epsilon =1$ olmak üzere $\delta>0$ sayısı ne olursa olsun $x=\frac{1}{\delta}$ ve $y=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}$ alınırsa $$|x-y|=|\frac{1}{\delta}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{\delta}|=\frac{\delta}{2}<\delta \wedge |f(x)-f(y)|=|\frac{1}{\delta^2}-\frac{1}{\delta^2}-1-\frac{\delta^2}{4}|=1+\frac{\delta^2}{4}\geq 1$$ koşulu sağlanır yani $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon)$$ önermesinin değili olan $$(\exists \epsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in X)(\exists y\in X)(|x-y|<\delta\wedge |f(x)-f(y)|\geq \epsilon)$$ önermesi doğru olur.