Fonksiyonu $(-\infty ,+\infty)$ da sürekli yapan $a$ sabit değerini bulunuz

Question

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x^3-x^2+8x-9}{x-1} \quad \text{eğer } x<1 \text{ ise}\\ -x^2-4x+a\qquad  \quad\ \text{ eğer } x\geq1 \text{ ise}\end{cases}$

Hocalarım ancak bu kadar açık yazabilirim

Comments

Bu fonksiyonun sürekli olması istenen aralık $(-\infty,\infty)$ mi?

---

Evet Hocam o aralıkta sürekli

---

Cozum icin neler yaptiniz? Neresinde sorun yasadiniz? Bunlari da belirtebilir misiniz?

---

Bu arada hocam ilk fonksiyon eksik olmuş (2x^3-x^2+8-9)/x-1 şeklinde olacak.Sonsuzda sürekli olmalarından dolayı bir şey yapamadım.Constant bir değer bulamıyorum

---

Sonsuz bir sayi degil, sonsuza kadar anlaminda o. Aslinda yazilan aralik tum gercel sayilar kumesi, yani $\mathbb R$. Her gercel sayi icin surekli oldugunu gostermemizi istiyor.


$a \in \mathbb R$ olsun. $x=a$ noktasinda surekliligi nasil kontrol edebiliriz?

Answer 1

Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olması için

a) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olmalıdır. Yani f(a) olması gerekir.

b) f(x) fonksiyonunun x = a noktasında sağdan ve soldan limitleri birbirine eşit olmalıdır.
Yani  olması gerekir.

c) f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti o noktasındaki değerine eşit olmalıdır.
Yani  = f(a) olması gerekir.

Bu üç şarttan en az biri oluşmazsa f(x) fonksiyonu x = a noktasında süreksizdir denir.

$lim_{x \to 1^-}\frac{2x^3-x^2+8x-9}{x-1}$ ise $0/0$ gelir.Bir kere Hopital yaparsak.

$lim_{x \to 1^-} \frac{6x^2-2x+8}{1}$ ise 12 limit gelir.

$lim_{x \to 1^+} -x^2-4x+a$ ise $-5+a=12$ gelir.Buradan $a=17$ gelir.

Comments

Arka plandaki rengin gitmesini istersen "ctrl+shift+v" ile kestikten sonra yapistirabilirsin. Arkadaki renk kodlarin calismasini engelliyor.

---

Teşekkür ediyorum :)

---

Teşekkürler Sercan hocam.

---

@dexor (a),(b) ve (c) şıkları ile ilgili olarak bir sorum olacak. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı değilse süreksizdir mi diyeceğiz? Yukarıda verilen süreklilik tanımı sağlıklı bir tanım değil. Maalesef birçok kitapta böyle veriliyor ama yanlış. Yukarıdaki tanım şuna benziyor. Boyu 1 metreden küçük olan insanlara kısa boylu; 2 metreden büyük olan insanlara da uzun boylu diyelim. Bu tanıma göre boyu 110 cm olan bir kişiyi hangi kategoriye koyacağımız belli değil. Yani bu tanım boyu 1 metre ile 2 metre arasında olan bir kişi için bir şey söylemiyor. Yukarıdaki süreklilik tanımında da aynen burada olduğu gibi bir eksiklik var. Mesela yukarıda verdiğiniz süreklilik tanımı $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu için bir şey söylemiyor. Sürekli de diyemeyiz süreksiz de.