Langlands sanılarının sayı teorisi ile alakası olan bir parçası, küresel Langlands karşılıklılığı hakkında güzel bir açıklama olmuş, elinize sağlık. Birkaç noktayı daha belirtmek ve genel bir şeyler söylemek açısından :
Langlands ın esas olarak öne sürdüğü temel varsayım olarak Fonktörsellik ilkesi olarak belirtilebilir. Bu fikir kabaca verilen bir $K$ cismi ($K$= $\mathbb{Q}$ alalım) üzerine tanımlı iki bağlantılı, indirgeyici cebirsel grup $G$ ve $H$ nin otomorfik temsillerinin bir şekilde karşılaştırılabileceğini ifade ediyor. Burada bir şekilde den kasıt, bu otomorfik temsillere karşılık gelen Satake parametrelerini karşılaştırmak veya her iki grup içinde Arthur- Selberg in iz formülünü karşılaştırmak (iz formülü olarak: İki çeşit ifade mevcut, geometrik ve spektral formül. Geometrik tarafta grubun üzerindeki, teknik sebeplerden, $\mathbb{R}$-eliptik $G$($\mathbb{Q}$)-eşlenik sınıfları üzerinden ifade edilen orbital integraller ve grup üzerinde seçilmiş uygun Haar ölçüleri yardımıyla, bu eşlenik sınıflarının merkezleyici gruplarının Tamagawa ölçüleri ile verilen bir toplam kast ediliyor. Spektral tarafta ise $G$($\mathbb{A}_{\mathbb{Q}}$) grubunun indirgenemez, makul $G$($\mathbb{A}_{\mathbb{Q}}^{f})$ x ($\mathbb{g}$ ,$K_{\infty})$ - temsilleri $\pi$'ler için, ($\mathbb{g}$ = $G$ cebirsel grubunun Lie cebiri, $K_{\infty}$ = $G$$(\mathbb{R})$ reel Lie grubunun maksimal kompakt algrubu) seçilmiş uygun $f$ test fonksiyonlarının, (bu fonksiyonlar için çoğu durumda $A_{G}$, $G$ grubunun merkezi içinde maksimal $\mathbb{Q}$- ayrışabilir torusu göstermek üzere, $f$ nin $A_{G}(\mathbb{R})^{+}$ topolojik grubu üzerinde kompakt desteğe sahip olması özelliği varsayılabilir) $f$ fonksiyonunun bahsi geçen $\pi$ otomorf temsilleri üzerindeki (katlılığı ile birlikte - bu katlılıkların hesaplanması = kabaca Arthur un katlılık sanıları) izlerinin bir toplamı olarak ifade edilebilir. Burada bir kaç önemli nokta olarak :
$1a)$ $G$($\mathbb{Q}$) $\backslash$ $G$($\mathbb{A}_{\mathbb{Q}}$) bölüm grubu sonlu hacme sahip olmayabilir (Eğer $G$ grubunun güzel özellikleri varsa, yerel olarak kompakt, Haussdorf, unimodüler, bu koşul sağlanıyor) Yani otomorfik temsillerin geldiği $G$ grubunun $L^{2}$ spektrumunun sürekli kısmı da var ise (kompakt durumda sadece uçsal (cuspidal) kısmı mevcut - teknik bir şey olarak bu $L^{2}$ spektrumunun ayrıca kalıntısal (residual) kısmıda vardır) iz formülü bu hali ile bir anlam ifade etmeyebilir. Bunun için James Arthur, iz formülünün eliptik olmayan kısmını da içeren, $G$ grubunun Hecke cebiri üzerine eşlenik invaryant bir distribüsyon tanımlamıştır (eğer $G$ grubunun $G^{der}$ türetilmiş grubunu cebirsel grup anlamında basit bağlantılı kabul edersek, kompakt durumda iz formülünü veren). Bunu kullanarak Arthur un invaryant iz formülü elde edilebilir.
$1b)$ Bu iki formülün bir $G$ grubu için karşılaştırılabilmesi için öncelikle stabilize edilmesi gerekiyor - yani geometrik ifadedeki toplam, stabil eşlenik sınıfları üzerinden yazılması, geometrik ifadedeki orbital integrallerin stabil orbital integraller cinsinden yazılması. Bu kavramı cebirsel kapanış üzerinde eşlenik olma olarak görebiliriz. Bunun içinde Ngo tarafından ispatlanan temel lemma ya ihtiyaç var. (Aslında temel lemma nın devirli taban degişimi ve endoskopi olmak üzere bazı varyantları da var.) Belirtmek gerekir ki, temel lemma için Langlands- Shelstad transfer sanısı da oldukça önemli.
$1c)$ Yukarıdaki stabilizasyon ifadesi ve Langlands- Shelstad transfer sanısı temel olarak Langlands tarafından ortaya atılan endoskopi teorisi ile bağlantılı. Daha doğrusu $G$ grubu üzerinde Arthur - Selberg in iz formülü stabilize edildikten sonra formül, $G$ grubunun endoskopik grupları / üçlüleri üzerindeki stabil distribüsyonlar tarafından yazılıyor (eliptik kısmı için Kottwitz bunu ispatladı). $G$ indirgeyici cebirsel grubunun bir endoskopik grubu, kabaca bir yarı-ayrışabilen indirgeyici cebirsel grup $H$, endoskopik üçlü olarak ise ($H$, $s$, $\eta$), $s$, $G$ 'nin kompleks dual grubu $\widehat{G}$ içinde yarı basit bir eleman (cebisel kapalı cisimler üzerine $\widehat{G}$ grubunun inşaası için $G$ nin bir $B$ Borel altgrubu ve bir maksimal torus'u $T$'den elde edilen indirgenmiş merkezli kök sistemini oluşturmak ve Chevalley'in bir teoremini kullanmak gerekli), $\eta : $ $\widehat{H}$ $\rightarrow$ $\widehat{G}$ imgesi seçilmiş $s$ elemanını sabitleyen bir gömme - aslında endoskopik dörtlü demek daha doğru olabilir fakat $G^{der}$ cebirsel grubunu basit bağlantılı kabul edersek eklenebilecek dördüncü notasyon $\tilde{\eta}$ : $L^{H}$ $\rightarrow$ $L^{G}$ ($L^{G}$ := $\widehat{G}$ $\rtimes$ $Gal(\overline{\mathbb{Q}} / \mathbb{Q}) $ olarak $G$'nin Langlands $L$-grubu olarak tanımlanırsak) için $\eta$' nın Langlands $L$ gruplarına genişlemesini göz ardı edebiliriz.
$2)$ Genel olarak $G = GL(n)$ grubunun model örnek olarak alınmasının sebebi şöyle olsa gerek : Öncelikle $GL(n)$ grubu ayrışabilir bir cebirsel grup. Dolayısıyla kompleks dual grubu ile Langlands dual grubu aynı şeyler. Bu sebeple bahsi geçen, otomorfik temsilleri Galois temsillerine bağlar, gibi bir ifade kullanılıyor. (Eğer $G$ ile karşılaştırılacak $H$ cebirsel grubunu trivial alırsak). İkinci bir nokta, $GL(n)$ grubunun tüm $L$-paketleri tek nokta kümeleri : Yani lokal / global Weil - Deligne gönderimleriyle endekslenmiş, lokal durumda indirgenemez makul, global durumda otomorfik, temsillerin denklik sınıfları tek bir elemandan oluşuyor. Yani Langlands karşılıklığı $G = GL(n)$ durumda (doğallık şartlarını sağlayan : L-fonksiyonları, epsilon faktörlerini koruyan, merkez karakterlerle iç büküm (twist) almada sabit kalan) birebir ve örten bir eşleme. Genel olarak verilmiş bir $G$ indirgeyici cebirsel grubu için otomorfik temsiller kategorisi oldukça büyük.
$3)$ Bir önceki paragraftaki son cümle için : Global durumda karşılıklılığı ifade etmek için, varlığı henüz ispatlanmamış $\mathbb{L}_{\mathbb{Q}}$ mutlak Langlands grubuna ihtiyaç olsada, lokal durumda bir $K / \mathbb{Q}_{p}$ yerel cismi üzerinde, Langlands karşılıklılığı için Galois gruplarını kullanmak genel olarak doğru değil. Cebir derslerinden bilindiği üzere $K$ veya $\mathbb{Q}_{p} $ cisminin mutlak Galois grubu üzerindeki Krull topolojisine göre kompakt olduğundan $GL(n)$ grubunun kompleks dual grubu (bu grup $GL(n)$ grubunun dual kök datasının kendisi olması sebebiyle $\widehat{G} = GL(n, \mathbb{C})$) içerisindeki temsillerinin görüntüleri sonlu olur. (Buna $GL(n)$ nin küçük altgrup özelliği de denebilir). Fakat otomorfik taraftaki temsiller genel olarak sonsuz boyutlu imgeye sahipler. Bu sebeple Galois grubu yerine daha ince olarak Weil grubu ( hatta $\ell$ - adik monodromiyi kontrol etmek için formülasyonunda Weil - Deline grubunun, $\mathbb{G}_{a}$ dışındaki kısmı $\mathbb{Q}$ üzerine sabit bir grup şeması, Frobenius - yarı basit temsilleri) kullanmak daha doğru. Galois temsillerine karşılık gelen Artin $L$-fonksiyonları gibi Weil ve Weil - Deline temsillerine karşılıkta $L$- fonksiyonları ve epsilon faktörleri mevcut.
$4)$ Langlands programı içindeki sanılara / tekniklere bir örnek daha olarak Langlands- Kottwitz methodu da verilebilir. Bu method kabaca yerel simetrik uzayların (veya daha spesifik olarak Shimura varyetelerinin) sonlu cisimler üzerindeki noktarının sayısının, Arthur-Selberg in iz formülünün geometrik kısmına benzer şekilde ifadesine dayanıyor. Bunun için bu yerel simetrik uzayların anlamlı integral modelleri olması gerekiyor. İndirgeme tipinden bağımsız olarak, iyi indirgeme veya parahorik seviye yapısında, bu modellerin varlığı pek çok kişi tarafından (özel bir örnek olarak polarizasyonu temel ve üzerinde seviye yapısı olan abelyen şemaların moduli uzayları - Siegel moduli şemaları) ispatlandı. Burada Hecke operatörleri tarafından verilen kohomolojik karşılıkların geometrik sabit noktalarının saymak - yani yerel simetrik uzayın özel lifi üzerindeki Frobenius - Hecke sabit noktalarını saymak, belli özel durumlarda abelyen varyetelerin isogeni sınıflarını saymaya da denk geliyor. Bu klasik Honda- Tate teorisinin genel hali olarakta düşünülebilir.
Ek : 3) paragrafında önemli bir nokta gözden kaçmış : $\ell \neq p$ olması. Eğer seçim aksiyomu ile bir $\chi : \overline{\mathbb{Q}}_{\ell} \simeq \mathbb{C}$ izomorfizması seçersek, belirtilen lokal durumdaki karşılıklılık, Grothendieck'in, $K / \mathbb{Q}_{p}$ için, her $\rho$ : $Gal(\overline{K} / K)$ $ \rightarrow $ $GL(\overline{\mathbb{Q}_{\ell}},n)$ sürekli $\ell$-adik Galois temsilinin, $Gal(\overline{K} / K)$ grubunun $P_{K} = Gal(\overline{K} / K^{tame})$ olarak tanımlı kapalı altgrubunun (bu altgruba vahşi atalet (wild inertia) grubu deniyor) açık bir alt grubunda trivial olmasına dayanıyor (Bu grubu $Gal(\overline{K} / K)$ içindeki maksimal Sylow $p$-altgrubu olarak görebiliriz). $\ell = p$ durumunda ise çok fazla $p$-sel Galois temsili var. Bu sebeple $\ell = p$'de karşılıklılığı ifade edebilmek için belli çeşit $p$-sel temsillere bakmamız gerekiyor. Bu temsil sınıfı yukarıdaki bazı kavramlarla da bağdaşması için şöyle kabaca ifade edilebilir: Öncelikle $\rho$ temsilinin $K$'nın hemen hemen tüm yerlerinde dallanmamış olduğunu varsayalım. Ayrıca $k / \mathbb{F}_{p}$, $K$ yerel cisminin rezidü cismini göstermek üzere, $W = W(k)$ ile karşılık gelen Witt vektörleri ve $L = W[1/p]$ bu halkanın kesir cismi olsun (Somut olarak $L$ = $K$ nın $\overline{K}$ içindeki maksimal dallanmamış genişlemesi). $B_{crys}$ ile $B_{crys}^{Gal(\overline{K} / K)} = L$ koşulunu sağlayan bir $\mathbb{Q}_{p}$ cebiri seçelim (bu tanımı ve inşaası çok bariz olmayan bir halka, daha doğrusu Fontaine in period halkaları $B_{HT}, B_{dR}, B_{crys}$ içinden bir tanesi). Son olarak $X$, $K$ cismi üzerine pürüzsüz ve tam (proper) bir şema olsun. Doğal bir şekilde, $X$ in sonlu étale kaplamalarının oluşturduğu kategori ve üzerindeki Grothendieck topolojisi için kabaca $H^{*}_{ét}(X \times_{K} Spec(\overline{K}), \mathcal{F})$ étale kohomoloji gruplarını tanımlayabiliriz ($\mathcal{F}$ = $\underline{\mathbb{Z}_{p}} \in Sh_{ét}$ olarak bu abelyen demet kategorisi üzerinde $\mathbb{Z}_{p}$ köklerine sahip sabit demeti alalım). Elimizde $\mathcal{F}$ demeti üzerinden, $Gal(\overline{K} / K)$ grubunun $X$ in, $V = H^{*}_{ét}(X \times_{K} Spec(\overline{K}), \mathbb{Z}_{p}) \otimes_{\mathbb{Z}_{p}} \mathbb{Q}_{p}(d)$, $d \in \mathbb{Z}$ ile iç bükülmüş (twisted) étale kohomolojisi üzerine genişletilmiş bir etkisi var. Yani elimizde bir $p$-sel Galois temsili mevcut. Son olarak $G_{K} = Gal(\overline{K} / K)$ grubunun bir $p$-sel Galois temsiline, örneğin $V$ temsili, $boy_{L}(B_{crys} \otimes V)^{G_{K}}$ = $boy_{\mathbb{Q}_{p}}(V)$ koşulunu sağlıyorsa kristal (crystalline) diyelim. Bu durumda geometrik Galois temsilleri için Fontaine - Mazur sanısını kabul edersek, $\ell = p$ durumunda Langlands karşılıklığı için Galois temsilleri tam olarak, $X$ pürüzsüz ve tam bir şema olmak üzere, inşa edilen $V$ temsilinin alt bölüm temsillerinden geliyor. Ek olarak bu inşa normalde $B_{crys}$ yerine $B_{dR}$ halkasını kullanarak ifade ediliyor, fakat $p$-sel Hodge kuramı ile verilen bir kristal Galois temsilin aynı zamanda de-Rham olduğunu da gösterebiliriz. Buradaki kullandığımız periyot halkası ile bir bakıma ifadede ki $X$ şemasının $p$ asalında iyi indirgemeye sahip olduğunuda varsayıyoruz, kısacası $p$ deki indirgemesinde singülaritesi olması gibi saçma ve anlamsız konulara değinmeden ifade edebiliriz.