Question

R ve S birimli halkalar. f : R--->S halka homomorfizması , f(1_R) =a olsun. a ∈ S idempotent eleman olup olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$a=f(1_R)=f(1_R1_R)=f(1_R)f(1_R)=a\cdot a=a^2$

Comments

Soruda $S$ halkasının birimli olduğunu hiç kullanmıyoruz. Bunu niye vermiş olabilir?

---

Bu size diger bir soruda demis oldugum "bazilari birim sartini kosmuyor". Karisilik degil bu, sadece herkes isine geldigi sekilde kulllaniyor.

---

$f$ örten olsaydı birim şart olmayacaktı. Burada $f$ sadece homomorfizma. Boşuna verilmiş.

---

$f$'in nasil odugu onemli degil, sadece $f(ab)=f(a)f(b)$ olmasi yeterli, hakla homomorfizmasi olmasina bile gerek yok. Eger boyle bir $f$ varsa, $1$'in goruntusu $a^2=a$ seklinde olur.

---

$f$ homomorfizma değilken nasıl görebiliriz? Bence $f$ in homomorfizma olmasına gerek var fakat $S$ in birimli olmasına gerek yok.

---

yukarda toplama homomorfizmasi oldugunu hic kullanmadim, sadece carpma homomorfizmasi oldugunu kullandim. demek ki gerek yokmus.

---

hiç ikna olmadım. biraz düşüneyim.