Question

dirichlet fonksiyonu neden riemann integrallenemez ve lebesgue integrallenebilirmidir?

Comments

Biliniği gibi Dirichlet fonksiyonu ;    

                               

    $d\neq c$ reel sayılar olmak üzere $D(x)=\begin{cases}c\quad x\in\mathbb{Q}\\d\quad x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$

genelde (türkçe) kaynaklarda bu fonksiyon $c=0$ ,  $d=1$ alınır.       

şimdi Riemann integrali : Riemann toplamı , 

$$\int_a^b f(x)\;dx=\lim_{\max \Delta x_k\to0}\sum_{k=1}^nf(x^*)\Delta x_k$$

                                                            

olup $(x_k)^*$ sayıları $[a, b]$ aralığının alt aralıklarına  (  $[x_{k-1} , x_k]$ ) düşen , keyfi sayılar bu durumda dirichlet fonksiyonunun tanımı gereği $(x_k)^*$ saysı; rasyonelse $c$ değerini, irrasyonel bir sayıysa $d$ değerini alır ki bu da bizi farklı limit değerlerine götürür , yani limit tek değer almadığından integral mevcut değildir  ,  

         Lebesque integralinin tanımında ise   aralığımız $[a, b]$ kapalı aralığı olup

         

                    $E_0= \{x: x\in [a, b]\  ve \ x \ rasyonel\}$  

 

                                                      ve   

                    $E_1=\{x:x\in [a, b]\  ve \ x\ irrasyonel\}$

                     $\mu(E_0)=0$   ve              $\mu(E_1)=1$     

                    Lebesque ölçümleridir , ve bunları şöyle yorumlarız ,$E_0$ kümesi rasyonel

 

 sayılardan teşkil edildiği için sayılabilir  kümedir ve bu  kümenin her bir elemanı tek noktalı kümeler teşkil edilerek tek tek ölçülebilir ve tek rasyonel noktalı kümenin  ölçümü sıfırdır dolayısıyla $E_0$ kümesinin ölçümü $0$ dır. Şimdi $E_1$ kümesinin ölçümüne bakalım ;  

                                $\mu([a, b])-\mu(E_0) =\mu(E_1)$ olur      $E_1\cap E_0 =\phi$

 .  şimdi Lebesque integralini yapalım  

                                              $\sum_{i}  \eta_i \mu(E_i)= c.0 + d.(b-a)$         $( i=0, 1)$      

    Riemann integrali toplamların limitine saygı duyar, Lebesque integrali ölçümlerin toplamına 

 saygı duyar. Bu yüzden Riemann anlamında integrali alınamayan fonksiyon sınıflarının Lebesque 

anlamında  integrali alınabilir.

Answer 1

Eger $x \in \mathbb Q$ ise $f(x)=s$ ve eger $x \not \in \mathbb Q$ ise $f(x)=t$  olsun, $s \neq t$ olmak uzere.

Murad hocamin dedigi gibi, Riemann integralinde alt ve ust toplamlara bakarsan ($[a,b]$ araliginda diyelim) biri $(b-a)t$, digeri $(b-a)s$ olacak. Yani Riemann integrallenemez (farkli degerler geldiginden).

Lebesgue olcumleri $0$'a $(b-a)$ yaptigindan (rasyonel sayilarin bu araliktaki olcumu sifir, irrasyonellerin $b-a$). Lebesgue integreli de: $0.s+(b-a)t=(b-a)t$ yapar.

Comments

http://demonstrations.wolfram.com/RiemannVersusLebesgue/

Answer 2

Neden Lebesgue integranin daha geniş bir fonksiyon sınıfında tanımlı olduğunun açıklamasını ben şöyle yapayim (tabi ki Riemann ve Lebesque integrallerini karşılaştırdığımızda için Sonlu aralıkta sınırlı fonksiyonları integre ediyoruz. )

Teorem1. Bir fonksiyon Riemann integrallenebilirdir ancak ve ancak süreksizlik noktalarının Lebesque ölçüsü 0 ise. 

Teorem 2. Bir fonksiyon Lebesque integrallenebilirdir ancak ve ancak ölçülebilir ise. 

Sonuç. Riemann integrallenebilir $\subset$ Lebesque integrallenebilir. 

2. Teoreminin ispatının gerek koşul kısmı basit yaklaşma lemasından (İNG. Simple Approximation Lemma) yapılır ve bu lemada ise ispat tekniği y- eksenini bölmektir. (bkz. Royden) Bununla birlikte Riemann integrali x- eksenini parçalayarak yapılır. 

Bu iki integral yaklaşımındaki temel fark budur: Riemann "körü körüne" (fonksiyonun ne olduğundan bağımsız olarak) x- eksenini parçalayarak tanımı vermişken Lebesque bu işi fonksiyona dikkat ederek y- eksenini parçalayarak yapmıştır.

Answer 3

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $x$ irrasyonel ise $f(x)=0$;  $x$ rasyonel ise $f(x)=1$ ([0,1] aralığındaki rasyonel ve irrasyonellerden bahsediyoruz.)

$f$ fonksiyonunun herhangi bir bölüntüye göre alt toplamları bul (daima $0$ çıktığını göreceksin) ve üst toplamları bul (daima $1$ çıktığını göreceksin.)

O halde $f$ fonksiyonu Riemann anlamında integrallenemez.