$ABC$ üçgeninin alanı kaç $br^2$'dir?

Question

$V_a$, $V_b$, $V_c$ kenarortay uzunlukları olmak üzere; $V_a=18 \ br$, $V_b=24\ br$, $V_c=30\ br$'dir. $ABC$ üçgeninin alanı kaç $br^2$'dir?

Comments

$3$ bilinmeyenli $3$ denklem yazılıp tabi ki çözülebilir. Fakat zaman gerektiriyor ve işlem hatası yapma riski yüksek. Daha kolay bir yolu var mı?

---

bunun formülü vardı sanırım,kipata bakıp geliyorum :D

---

 Verilenler bir dik üçgenin kenarlari oluyor. Bunu kullanabilirsiniz...

---

1-)$4(va^2+vb^2+vc^2)=3(a^2+b^2+c^2)$ formülü var

vede 2 kenarortay birbirine dik olduğunda,örneğin va  vb vc kenarortayları olsun

va dikv b  den

2-)$vc^2=va^2+vb^2$

kenarlara göre $5c^2=a^2+b^2$

bide bu var

3-)$2Vc^2+c^2/2$=$a^2+b^2$

inşallah bilmiyosundur bunları :D

---

Maalesef biliyordum:) Bunun formülü var mı acaba? Çünkü bir soruda uzunlukları vermiş fakat aralarında herhangi bir Pisagor bağıntısı yok. Yine alanı sormuş.

---

o zaman direk bir formül yok :/ bişelerden bunlara ulaşılıyo :)

---

Bir şey buldum sanırım. İşlemleri bir yapayım bakalım 10 dakikaya yazarım :)

---

Resim atabilirsem genel çözümü yollayayım...

---

Hocam sanırım cebirden bir formül çıkıyor onu deniyorum şu anda :)

---

cebir kim,yiyiliyomu :)

---

Kenarortay uzunluklarıyla da u formülü kullanılabiliyor. En azından onun gibi bir şey :)

---

tabi en sonda u formülü gözüküyor,sonuçta tüm kenarları bulacaz :) bu aralar çok bilimselim ^_^

---

Bilimsellik göreceli bir şey sonuçta :) İspatıyla beraber yazıyorum cevaplara.

---

tamam beklıyorum :)

Answer 1

YeniBelge_1.pdf (0,6 MB)

Download the PDF: YeniBelge_1.pdf

Comments

Teşekkürler hocam.

---

Sorularimizi yazarak paylasmamiz gerekiyor.

---

Hocam geometrik şekillerle anlatıldığından bunda bir mahsur yok sanırım. Ama yine de pdf birazcık ahengi bozuyor. Pdf yerine fotoğraf olarak gönderilseydi daha şık dururdu :)

---

Fotograf olarak sadece sekli cizip yazi ile anlatmamiz daha iyi. Tabii ki de geometri icin resim isleri kolaylastiriyor. Fakat site ici yaziyi daha cok tutmak lazim.

---

Aynen bu noktada haklısınız şekil fotoğraflanıp çözüm yazıyla yazılabilir.

Answer 2

Bu üç kenarortay uzunlukları arasında $V_c^2=V_a^2+V_b^2$ olduğunu görebiliriz. Bu bize $B$ köşesine ait kenarortayın $A$ köşesine ait kenarortaya dik olduğunu gösterir. Eğer kenarortayların kesim noktası $P$ ise $PAB$ dik üçgen olup $A(PAB)=\frac{A(ABC)}{3}$ olduğunu biliyoruz. $|PB|=\frac{2}{3}.24=16,|PA|=\frac{2}{3}.18=12$ dır. O halde $A(PAB)=\frac{12.16}{2}=96$ olup $A(ABC)=3.96=288$ $br^2$ olacaktır.

Comments

Sağolun hocam.

---

Önemli değil. Başarılar...

Answer 3

$2V_a^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2} \rightarrow a^2=2b^2+2c^2-4V_a^2$,

$2V_b^2=a^2+c^2-\frac{b^2}{2} \rightarrow b^2=2a^2+2c^2-4V_b^2$,

$2V_c^2=a^2+b^2-\frac{c^2}{2} \rightarrow c^2=2a^2+2b^2-4V_c^2$ denklemlerinde düzenleme yaparsak;

$9a^2=8V_b^2+8V_c^2-4V_a^2$,

$9b^2=8V_a^2+8V_c^2-4V_b^2$,

$9c^2=8V_a^2+8V_b^2-4V_c^2$ denklemlerini elde ederiz. Kenar uzunlukları bilinen üçgenin alanı $S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}}=\sqrt{\frac{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}{16}}$ olduğundan son denklemleri yerine koyarsak $S=\sqrt{\frac{144(2(V_a^2V_b^2+V_a^2V_c^2+V_b^2V_c^2)-(V_a^4+V_b^4+V_c^4)}{16.81}}$

$=\frac{1}{3}\sqrt{(V_a+V_b+V_c).(V_a+V_b-V_c).(V_a-V_b+V_c).(-V_a+V_b+V_c)}$ eşitliğini elde ederiz.

$V_a=18 \ br$, $V_b=24 \ br$, $V_c=30 \ br$ olduğuna göre denklemde yerine koyarsak $S=288 \ br^2$ buluruz.

Comments

Birkaç basit(!) cebirsel işlemin ardından yukarıdaki eşitlik çıkıyor. İnanmayan deneyebilir :) Fakat baştaki teoremin ispatını bilmiyorum, onu da bu başlık altında tartışalım :)