Question

Bir fonksiyon yerel minimum noktasında türevlenebilirse türevin sıfır olması gerektiğini gösterin.

Answer 1

$a \in I$ noktasi, $f:I \to \mathbb{R}$ fonksiyonun bir yerel minimum noktasi olsun ve $f$'nin $a$ noktasinda turevlenebilir oldugunu dusunelim.

$$f'(a)= \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a^{+}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a^{-}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$

Bu kesirli fonksiyonlarin ust tarafi her zaman pozitif. $x - a$ ifadesi ise $x >a$ iken pozitif, $x <a$ iken negatif. Yani, $x > a$ iken $\frac{f(x) - f(a)}{x-a} > 0$ ve $x <a$ iken $\frac{f(x) - f(a)}{x-a} < 0$. Bu da demek oluyor ki, yukaridaki esitliklerin gecerli olabilmesi icin, limitlerin $0$ olmasi gerekiyor.

Comments

Burada $I$ bir aralık mı? Yoksa $\mathbb{R}$'nin herhangi bir alt kümesi mi?

---

$a$'yi iceren bir aralik olarak aldim ben $I$'yi. 

http://matkafasi.com/10978/yerel-maksimum-ve-yerel-minimum sorusu enteresan bir soruymus.

---

Teşekkür ederim. Yanıtı çok kolay.