$$f(x)=\sin x$$ kuralı ile verilen $$f :\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to \left[-1,1\right]$$ fonksiyonu ile
$$g(x)=\arccos x$$ kuralı ile verilen $$g:\left[-1,1\right]\to\left[0,\pi\right]$$ fonksiyonunu ele alalım.
$$g\circ f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to \left[0,\pi\right], \,\,\ (g\circ f)(x)=\arccos(\sin x)$$ fonksiyonunun tanım kümesi ile $$h(x)=\frac{\pi}{2}-x$$ kuralı ile verilen $$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun tanım kümesi farklıdır. Dolayısıyla $$g\circ f$$ fonksiyonu ile $$h$$ fonksiyonu eşit değildir. Ancak $$h(x)=\frac{\pi}{2}-x$$ kuralı ile verilen $h$ fonksiyonunun tanım kümesi $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ve hedef (değer) kümesi $\left[0,\pi\right]$ olarak alınırsa $$g\circ f=h$$ olur.
Tanım: $f\in Y^X$ ve $g\in T^Z$ olmak üzere
$$f=g:\Leftrightarrow (X=Z)(Y=T)(\forall x(f(x)=g(x)) $$
$$f\neq g:\Leftrightarrow \left[X\neq Z \vee Y\neq T \vee \exists x(f(x)\neq g(x))\right] $$