Ezber bozuyoruz-5- Kuvvet toplamlarını ispatlayalım $S(n)_{k}=1+n+n^2+n^3+n^4+......+n^{k-1}+n^k=\dfrac{1-n^{k+1}}{1-n}$

Question

$n\geq 1 \in\mathbb{N}$         $k\in \mathbb{N}$

   $S(n)_{k}=1+n+n^2+n^3+n^4+......+n^{k-1}+n^k=\dfrac{1-n^{k+1}}{1-n}$ bu eşitliği nerden geldiğini gösterelim.

Comments

sifir ile degil de bir ile baslamali. Ayrica n=1 durumu disinda olmali.

---

ev bıraz karışık dalgınlıgıma gelmış düzeltiyorum.

---

nerden geldigini biliyormusunuz hocam.

Answer 1

$$T=1+x+x^2+\cdots+x^n$$ olsun. Bu durumda $$xT=x+x^2+\cdots+x^{n+1}$$ olur ve $$xT-T=x^{n+1}-1$$ olur. Eger $x\ne 1$ ixe $$T=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$ olur. Eger $x=1$ ise zaten direkt $n+1$'ye esti olur. Ek olarak $$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=n+1.$$

Comments

çok sentetik elementik güzel bir çözüm hocam .Bravo!

Answer 2

$a,b \in Z^+$ ve $b=a-1$ olmak üzere,

$(1\underbrace  {00...000}_{n+1\ tane})_a=a^{n+1}$ ifadesinden $1$ çıkaralım.

$(\underbrace{bb...bbb}_{n+1\ tane})_a=b.a^n+b.a^{n-1}+...+b.a^2+b.a+b$ ifadesini $b$ ile bölelim.

$(\underbrace {11...111}_{n+1\ tane})_a=a^n+a^{n-1}+...+a^2+a+1$ ifadesini elde ederiz. O halde

$b(a^n+a^{n-1}+...+a^2+a+1)+1=a^{n+1}$ olmalıdır. Düzenleyip $b=a-1$ eşitliğini ifadede yerine koyarsak

$a^n+a^{n-1}+...+a^2+a+1=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ buluruz.