$p=2,3$ degilse her asal $p$ sayisi $6k\pm1$ formatinda olmali, $k$ pozitif tam sayi.

Question

 $p=2,3$ degilse her asal $p$ sayisi $6k\pm1$ formatinda olmasi gerektigini gosteriniz, $k$ pozitif tam sayi.

Answer 1

Boyle olmayan sayilar 2'ye veya 3'e bolunurler.

Answer 2

6Z nin otelemelerine bakalim. Bir asal 6Z+2 formunda olamaz cunku yoksa 2ye bolunur. Ayni sekilde 6Z+3 formundaysa 3'e, 6Z+4 formundaysa da 2ye bolunur. Demek ki ya 6Z+1 ya da 6Z+5 formundadir.(6Z nin tum otelemeleri bunlar oldugundan.)

Answer 3

$p\equiv1(mod 6)$ veya $p\equiv5(mod 6)$

$p\equiv1(mod 6)$ olabilmesi için $p\equiv1(mod 2)$ ve $p\equiv1(mod 3)$,

$p\equiv5(mod 6)$ olabilmesi için $p\equiv1(mod 2)$ ve $p\equiv2(mod 3)$ olmalıdır. Bu durumda $p$ asalı zaten $2$ veya $3$'e zaten bölünemeyeceğinden $p\neq2,3$ olmak üzere $p=6k\pm1$ olmak zorundadır.

Comments

Bu halinin soruyu ispatladigini dusunuyor musun?

---

Evet düşünüyorum, siz nerede hata olduğunu düşünüyorsunuz hocam?

---

Gostermemiz gereken bir asal $p \neq 2,3$ secip sonra $p \equiv 1 \: \text{ya da } 5\mod 6$ oldugunu gostermek. Fakat cozumun baslangic noktasinda zaten  $p \equiv 1 \: \text{ya da } 5\mod 6$ var. 

Hata var demeyeyim de, anlamadim cidden.

---

Şöyle anlatayım hocam $6k+1$ in $6$'ya bölümünden kalanı $1$ ve $6k-1$ in $6$'ya bölümünden kalanı $5$'tir. $p=6k\pm1$ olduğuna göre $p\equiv1(mod6)$ veya $p\equiv5(mod6)$ olmalıdır. O halde $p$ asalı $p\equiv1(mod6)$ için $p\equiv1(mod2)$ ve $p\equiv1(mod3)$, $p\equiv5(mod6)$ içinse $p\equiv1(mod2)$ ve $p\equiv2(mod3)$ şartlarını sağlamalıdır. $p\neq2,3$ ise hiç bir $p$ asalı $2$ ve $3$ sayılarına bölünmez. Bu durumda her $p$ asalı $p\equiv1(mod2)$ şartının yanında $p\equiv1(mod3)$ veya $p\equiv2(mod3)$ şartlarını da sağlar. O zaman iki farklı durum vardır: Birincisi, $p\equiv1(mod2)$ ve $p\equiv1(mod3)$ şartıdır ki bu durumda $p\equiv1(mod6)$ olmak zorundadır. İkinci durumsa $p\equiv1(mod2)$ ve $p\equiv2(mod3)$ durumlarıdır ve buna bağlı olarak $p\equiv5(mod6)$ olmasıdır. Az önce de belirttiğimiz gibi $p\equiv1(mod6)$ veya $p\equiv5(mod6)$ durumlarının sağlanması için $p=6k\pm1$ olmalıdır.

---

iste baslangic noktasi sikintili bence. ispat soyle baslasa (olsa):

$p \neq 2,3$ bir asal olsun. O zaman $p=1(2),1(3)$ ya da $p=1(2),2(3)$ olmali, yani $p=1(6)$ ya da $p=5(6)$ olmali.

yukaridaki ispatin baslangic noktasi $p=1,5(6)$ ve bitis noktasi $p=\pm1(6)$.

---

Doğrudur hocam Türkçe biraz zayıf olunca anlatımda sıkıntı olabilir:)