Question

supremum ve infimum un limitle ilişkisi nedir?

Comments

http://matkafasi.com/4022/%24-displaystyle-limsup_-n-to-infty-frac-left-1-right-nn-3n-1-%24?show=4022#q4022

http://matkafasi.com/39/%24-lim-sup_-n-rightarrow-infty-frac-sin-nx-sin-left-n-1-right-x-%24

Bu iki linke de bakabiliriz.

Answer 1

$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}$ limitinin varlığı için gerek ve yeter koşul

$\inf_{n}\left( \sup_{k\geq n}x_{k}\right) =\sup_{n}\left( \inf_{k\geq n}x_{k}\right)$

sağlanmasıdır (yani üst limitin alt limite eşit olmasıdır).

Answer 2

$〈x_n〉$, $\mathbb{R}$'de dizi olmak üzere 

$$〈x_n〉 \,\  \text{dizisi artan ve üstten sınırlı ise} \,\ lim_{n\rightarrow \infty} x_n=sup\{x_n\mid n\in  \mathbb{N}\}$$

$$〈x_n〉 \,\  \text{dizisi azalan ve alttan sınırlı ise} \,\ lim_{n\rightarrow \infty} x_n=inf\{x_n\mid n\in  \mathbb{N}\}$$

olur.