$\sqrt a^\sqrt a$ rasyonel olabilir mi?

Question

$a$ sayisi pozitif tam sayi olsun ve tam kare olmasin. O zaman $\sqrt a^\sqrt a$ sayisi rasyonel olabilir mi?

Answer 1

$\ $Gelfond'un ünlü teoremine göre (ki, bu Hilbert'in 7. probemine kısmen cevaptır),$\alpha \neq 0;1$ sayısı bir cebirsel sayı ve $\beta \ $sayısı da bir cebirsel irrasyonel sayı ise, $\alpha ^{\beta }$ sayısı aşkın (transandantal) bir sayıdır. Dolayısıyla, $\alpha $ bir tam kare değilse, $\sqrt{\alpha }^{\sqrt{\alpha }}$ her zaman aşkın bir sayıdır.