Önce bazı tanım ve teoremleri ifade etmek lazım.
$\underline{\textbf{TANIM:}}$ $G$ bir grup ve $X$, boş olmayan bir küme olsun. $G \times X$ ten $X$ e aşağıdaki iki koşulu sağlayan bir
$*~:~G\times X~\longrightarrow ~X$ , $(g,x)\longrightarrow g*x$
fonksiyonu varsa, bu fonksiyona $G$ nin $X$ üzerine bir etkisi denir:
$\textbf{(i)}$ Her $x\in X$ için $e*x=x$ tir.
$\textbf{(ii)}$ Her $x\in X$ ve $g_1,g_2\in G$ için $(g_1g_2)*x=g_1*(g_2*x)$ tir.
Eğer $G$ nin $X$ üzerine bir etkisi varsa, bu takdirde, $G$ grubu $X$ üzerine etki eder veya $X$, $*$ etkisi ile bir $G$-kümesidir denir.
$\underline{\textbf{TANIM:}}$ $G$ bir grup, $X$ bir $G$-kümesi ise, $g\in G$ ve $x\in X$ için
$X_g=\{ x\in X:g*x=x \}$ , $G_x=\{ g\in G:g*x=x \}$
tanımlanır. $X_g$ ye $X$ in g altındaki durağan altkümesi, $G_x$ e de $x$ in $G$ içindeki sabitleyicisi denir.
$\underline{\textbf{TEOREM:}}$ $G$ bir grup, $X$ bir $G$-kümesi olsun. $x_1,x_2\in X$ için
$'' x_1\sim x_2 \Leftrightarrow ~öyle~bir~g\in G~vardır~ki~x_2=gx_1~ ''$
ile tanımlanan bağıntı bir denklik bağıntısıdır.
$\underline{\textbf{TANIM:}}$ Bir önceki teoremde tanımlanan denklik bağıntısı ile ortaya çıkan denklik sınıflarından her birine bir yörünge denir. $x\in X$ in temsil ettiği yörüngeye $x$ in yörüngesi denir. $Gx$ ile gösterilir: $Gx=\{ gx:g\in G \}$
$\underline{\textbf{TEOREM(Burnside):}}$ $G$ bir sonlu grup, $X$ bir sonlu $G$-kümesi ve $X$ içinde $G$ ye göre yörüngelerin sayısı $r$ olsun. Bu takdirde,
$r=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X_g|$
dir.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Şimdi soruya dönelim.
$G:$ Kübün dönmeler grubu olsun.
$X:$ Kübün mümkün olan tüm boyanışlarının kümesi olsun.
$G$ kümesi $X$ üzerine etki etsin. ($X$ in bir $G$-kümesi olduğu açık)
$x,y\in X$ ($x$ ve $y$ iki boyanış) olmak üzere,
$x$ ve $y$ aynı $\Leftrightarrow \exists g\in G$ öyle ki $g*x=y \Leftrightarrow$ $x$ ve $y$ aynı yörüngede $\Leftrightarrow Gx=Gy$
$x$ ve $y$ farklı $\Leftrightarrow Gx \neq Gy$
Farklı küplerin sayısı, bu grup etkisine göre yörüngelerin sayısına eşittir.
$|G|=24$ , $|X_e|=\{ x\in X: e*x=x \}=|X|=6!=720$ , $\forall g\in G\setminus \{e\}$ için $|X_g|=0$
O halde yörünge sayısı (dolayısıyla farklı boyanış sayısı):
$r=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X_g|=\frac{1}{24}|X_e|=\frac{720}{24}=30$