Kapalı fonksiyonların türev formülünün ispatı

Question

$f(x,y)$  x'in ve y'nin türevlenebilir bir fonksiyonu olsun
$f(x,y)=0$  denkleminin tanimladigi kapalı fonksiyonun türev formülü olan $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}}$  olduğunu ispatlayınız

Comments

Bu soruda birden çok ifade bozuluğu var onları düzelteyim.

Amacım matematiğe ilgili ve öğrenmeye meraklı fotonyiyenadam ı yermek değil de, çok sık yapılan bazı ifade hatalarını düzeltmek ve daha standart bir notasyon önermek. 

fotonyiyenadam ı Matematiğe merakı, hevesi ve çabası için takdir ediyorum.

1.  $f(x,y)$ bir kapalı fonksiyon değildir. $f(x,y)=0$ (veya $=c$) gibi bir denklem, bazı durumlarda $y$ yi $x$ in (veya $x$ i $y$ nin) türevlenebilen bir fonksiyonu olarak tanımlar
2. Bu nedenle bulunmak istene türev (her ne demekse, aşağıya bakın) $f'(x,y)$ değildir. Genellikle $\frac{dy}{dx}$ (yani $y'$) sorulur (elbette $\frac{dx}{dy}$ de sorulabilir).
3. Ülkemizde sıkça kullanılan (sanırım eski Sovyet bloğunda kullanılmış, ordan bize geçmiş. Ahmet Karadeniz in Analiz kitaplarında var) ama dünyada başka yerlerde kullanılmayan $F'_x(x,y)$ ve $F'_x(x,y)$ sembollerinin  kullanılmamasını öneririm. Onlar yerine, daha standart (Amerikan ve Batı Avrupa sembolleri!) olan $F_x(x,y)$ ve $F_x(x,y)$ ya da  $\frac{\partial F}{\partial x}$ ve $\frac{\partial F}{\partial y}$ kullanmak bence daha iyi.

---

teşekkürler hocam, herzaman eleştirilere açığım,düzeltiyim hemen.Bu arada zaten bu karışıklığı sezdiğimden 

$F_y'(x,y)$"Açıklama: x sabit bir reel sayı gibi ve y değişken değerine göre türevi alınıyor demek"

not etmiştim.

---

Ben bu notasyonları yillardir defalarca gordum. O nedenle bunları yazma geregi duydum. Dikkate aldığı icin tesekkurler.

---

haklısınız hocam f'(x,y) türevinin neden sadece$\frac{dy}{dx}$ demek oldugunu hep sorgulamışımdır ama genel anlayış bu yönde için başta ,herkesın anladıgı dılden yazmıştım ama her zaman doğru şekilde yazmalıyız.Tekrar teşekkürler.

---

Soruda ufak bir degisiklik yaptim.