Üstel fonksiyonların türevinin ispatı

Question

$(a^x)'=lna.a^x$ şeklindeki üstel fonksiyonların türevini tanımdan ispatlayınız.

Comments

başlıga turev ıspatı dıye ekleyebılırsın:)

---

Temel türev tekniginu ispatlarsak gerisi kolay.$a^x=y$ ise $x.lna=lny$ gelir.Buradan bir kere türev alirsak.

$lna=\frac{y'}{y}$ gelir.Buradan da $a^x.lna=y$ gelir.

---

Dexor hocam cevaba çevirebilirsin. Eline sağlık.

---

türevini limitten hesaplamak gerekmezmi?

amaç zaten ln in türevi yani logaritmanın türevini bulmak oldugundan logarıtma turevını bılıyor gıbı yapıp turev almak sıkıntı olmaz mı?

---

Logaritmikleri daha önceden yazmıştık ama. Galiba şu anda 12. sınıf müfredatının tüm türev formüllerini ispatladık, hayırlı olsun. Ben limitten çıkaramadım $a^x(\frac{a^h-1}{h})$ geldi tıkandım. Ama istersen sen biraz daha uğraş, birşey çıkarsa atarsın Anıl.

---

$a^x=y$ ise

$lna.x=y$ çarpım fonksiyonların turevını ıspatlamıştık (limit tanımından)

http://matkafasi.com/67910/turevde-carpma-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-2?show=67910#q67910

burdan yola çık olmad ben yazarım.

---

$lna.x=y$ nereden geldi? Eğer oradan devam edecek olursak $lna=y'$ gelir. Aynı şeyden bahsediyorsak $lna.x=lny$ olmalı.

Dipnot:Türev konusunu bu sene öğrenen diğer arkadaşlarımın da faydalanabilmesi için soruyu ortaöğretim kategorisine aldım.

---

http://matkafasi.com/69003/logaritma-fonksiyonunun-kurallarinin-ispatlari burdan geldi

türev alıyoruz ezberden ama ,logarıtmanın turevının böyle oldugunu kim buldu? bularken neler yaptı amaç onu ögrenmek.

Answer 1

http://matkafasi.com/71257/logaritmanin-turev-formulunun-limit-tanimindan-ispati burda ispatlanıcak olan veya http://matkafasi.com/70747/sqrt-sinx-sqrt-sinx-cdots-%24olduguna-frac-ifadesini-bulunuz   'un  yorumlarında Moriartied 'in ispatladığı logaritma fonksiyonlarının türevlerinin  genel ispatına dayanarak.

Yani

$log_au=y$ ise

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}}{u}.log_ae$


$\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{u}.log_ae$ olur




$a^x=y$ diyelim ve

$\frac{dy}{dx}$ i hesaplayacağız

ispatı yaparken  logaritma kurallarını bildigimizi varsayıyoruz http://matkafasi.com/69003/logaritma-fonksiyonunun-kurallarinin-ispatlari


ln tabanına alalım

$x.lna=lny$


ispatlanan $\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{u}.log_ae$

a dayanarak her tarafın türevini alalım ve sol tarafta çarpma oldugu için
http://matkafasi.com/67910/turevde-carpma-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-2?show=67910#q67910

burdaki çarpma kuralı ispatından

$(x)'(lna)+(x)(lna)'=\frac{y'}{y}.lne$            (sabit sayıların türevleri 0 kuralından)


$\frac{dx}{dx}.lna+x.0=\frac{\frac{dy}{dx}}{y}$  düzenlersek


$y.lna=\frac{dy}{dx}$ ispatlanır.$\Box$

Comments

Teşekkürler :)