Eğriler arası dikey mesafe ile ilgili kalkulüs sorusu.

Question

ƒ(x) ve g(x) yukarıda şekilleri verilen türevlenebilir fonksiyonlar

olsun. c noktası eğriler arasındaki dikey mesafenin en büyük olduğu

yerdir. İki eğrinin c noktasındaki teğetlerinin bir özelliği var

mıdır?

Comments

Farkın maksimum olduğu noktada ne olur?

---

f(c) ve g(c) dersek farklarını alıp türevleyip 0 a eşitlersek maximum aralığı bulurmuyuz? bu yaptıgımda sadece dikey maximumu buluyorum ama maximum şöylede olabilirmi oyuzden kafam biraz karıştı.Yoksa türev otomatikmen bu aşşagıdakini mi yapıyor?

---

O uzaklıgı başka şekilde bulmalısın. Koşullu maksimum problemi olabilir.

---

bana bir başlangıç noktası verirmisiniz hocam. 2 değişken yapsam cnin sağında ve solunda onlara göre türev alırsam karışıyor c noktasındaki dikey mesafeyi $\triangle x\rightarrow 0$ kadar kadar oynatsam birşeyler çıkarmı ki(farkındayım kurduğum cümle matematikten uzak ,çok adi bir açıklama oldu)

Answer 1

$s$ ve $t$, sırasıyla $y=f(x)$ ve $y=g(x)$ eğrileri üzerinde herhangi iki noktanın 1. koordinatları olsun.

Bu noktalar arasındaki uzaklık $F(s,t)=\sqrt{(s-t)^2+(f(s)-g(t))^2}$ olur. Bu iki değişkenli fonksiyonun ($(s,t)\in(a,b)\times(a,b)$ ) yerel minimumunu arıyoruz.

İşlemleri kolaylaştırmak için ($F(s,t)$ yerine) $G(s,t)=(F(s,t))^2=(s-t)^2+(f(s)-g(t))^2$ in yerel  minimumunu bulabilirsin.

Sanıyorum, cevapta, en uzak iki noktayı birleştiren doğru parçası (uçlarındaki)  teğetlere dik olacak.

Comments

üsttekiler tamam hocam,

sandığınız şey bana çok mantıklı geldi ,size ve bana neden mantıklı geldi? Önceden gördüğümüz tecrübelerden dolayı bir "sanı" mı bu?

cevabıda tamamlayıp paylaşırım hocam.

---

Önce tahmin ettim. Sonra çözerek de doğru olduğunu gördüm.

Başka bir çözüm yolu da var . Bir değişkenli fonksiyonlarla. 

Önce bir eğri üzerinde sabit bir nokta alıp, diğer eğri üzerinde, seçilen noktaya en yakın noktayı bul.

Daha sonra bu uzaklığı maksimum yapan birinci noktayı bul.

---

bu daha da güzelmiş birde bir sorum var hocam

$F(s,t)$   veya $G(s,t)$ nin turevlerını hangı degışkene gore alıcam? s ve t sabıt olarakmı düşünücem? yoksa hepsini x e göre alıp $\frac{dt}{dx}$  ve   $\frac{ds}{dx}$ gibi şeyler mi bulucagım burada çok takıldım.

---

Her ikisini de ayrı ayrı alıp 0 a eşitleyeceksin.

---

anlamadıgım için utanarak tekrar soruyorum ayrı ayrı alıp 0a eşitlemekten anlamam gereken şey 

x diye birşeyi hesaba katmadan direkt ,ilk olarak ds ye göre türev  2. olarak dt ye göre türev alıp her 2 türev sonucunu 0 a eşitleyip cevaba mı ulaşmak?

Yani amaç genelde $\frac{dy}{dx}$ i bulup bunu sıfıra eşitleyen x değerini bulmak oluyordu ,

ama burda neyi bulucam $\frac{ds}{dx}$ mi  $\frac{dt}{dx}$ mi  $\frac{ds}{dt}$ mi?

$\frac{dt}{ds}$ mi?

türevin tanımını tekrar ettim tamam dedim ama  s ve t sabit mi değişken mi

sabitlerse kolay tüm ifade direkt sabit olacagından türevi 0 olur ama burda değişkenlerden bahsediyoruz



aklım takıldı çünki kapalı fonksiyonlarda 2tane değişkenımız var x ve y gibi

örnek
$f(x,y)=0=x^2y+y^3x+2x$ olsun ben 


$\frac{dy}{dx}$ bulmak için şöyle yapıyorum

$0=2x.y+\frac{dy}{dx}x^2+3\frac{dy}{dx}y^2x+2$ oluyor

Dolayısıyla

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2xy+2}{x^2+3y^2x}$ oluyor


soruya bunu uygulamaya çalışırsam .

$[(s-t)^2+(f(s)-g(t))^2]'_{x'e göre}=2s\frac{ds}{dx}+2t\frac{dt}{dx}-2\frac{ds}{dx}.t-2\frac{dt}{dx}.s+2.\frac{ds}{dx}.f(s).f'(s)$

$+2.\frac{dt}{dx}.g(t).g'(t)-2.\frac{ds}{dx}.f'(s).g(t)-2.\frac{dt}{dx}.f(s).g'(t)$
-----------------------------------------------------------------------------------------------
$[f(s)]'=f'(s).\frac{ds}{dx}$  olarak yaptım 


hocam yardım edin lütfen beynim karman çorman oldu

---

Kapalı fonksiyonun (ki ortada bir eşitlik yok, dolayısıyla kapalı fonksiyon da yok) DEĞİL

$F(s,t)$ nin hem $s$ ye hem de $t$ ye göre türevleri her ikisi de 0 olmalı.

İki bilinmeyenli, iki denklem olacak.